第一章 特殊平行四边形专题--- 特殊平行四边形中的最值问题（含解析）初中数学北师大版九年级上册

专题 特殊平行四边形中的最值问题 【一、矩形中的最值问题】 【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．3 B．2 C．10 D．2 【变式练习1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，G分别是AD和BC上的动点，四边形EFGH是矩形，则FH的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式练习2】．如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0） 【变式练习3】．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是 　 　 ． 【二、菱形中的最值问题】 【例题2】．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A．6 B．4 C． D． 【变式练习1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　 　 ． 【变式练习2】．如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°；点F是CD的中点，点E是BC上一动点，连接AE，BF．G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的最小值是 　 　 ． 【三、正方形中的最值问题】 【例题3】．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．2+2 【变式练习1】．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式练习2】．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P．连接CP，线段CP长的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案 【一、矩形中的最值问题】 【例题1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　） A．3 B．2 C．10 D．2 【分析】先确定动点P的运动路线，再构造将军饮马模型，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：设△PAB的边AB上的高为h， ∵S△PABS矩形ABCD， ∴，即hAD， ∵AD＝6， ∴h＝4， 分别在AD，BC上取点E，F，使AE＝BF＝4，连接EF，则点P是直线EF上的一个动点， 延长AD到A′，使EA′＝EA＝4，连接A′B，A′P， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABEF是矩形， ∴PE⊥AA′， ∴A，A′关于EF对称，AA′＝2AE＝8， ∴PA′＝PA， ∴PA+PB＝PA′+PB≥A′B， ∴PA+PB的最小值为A′B的长， 在Rt△A′BA中， A′B， 故选：D． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解答时涉及勾股定理，用一条线段表示处两线段的和是解题的关键． 变式1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，G分别是AD和BC上的动点，四边形EFGH是矩形，则FH的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】连接EG，根据矩形的性质得到EG＝FH，当EG最小时，FH最小，当EG⊥BC时，EG的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接EG， ∵四边形EFGH是矩形， ∴EG＝FH， 当EG最小时，FH最小， 当EG⊥BC时，EG的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABGE是矩形， ∴EG＝AB＝2， ∴FH的最小值为2， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，正确地作出辅助线是解题的关键． 变式2．如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（ ... ...