1.3　空间向量及其运算的坐标表示（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 学习 目标 1. 能够建立恰当的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，求出有关向量的坐标． 2. 掌握空间向量运算的坐标表示，能利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标． 2. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb λ∈R 垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos 〈a，b〉＝ ＝　 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　×　) (2) 空间直角坐标系中，在坐标平面Oxz内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式. (　×　) (3) 关于坐标平面Oyz对称的点，其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．(　×　) (4) 若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z).(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　求空间点、向量的坐标 例1　(1) 在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中(O为坐标原点)，的坐标是(－2，－1，－4)，的坐标是(－4，2，－4)． (例1(1)) 【解答】 由题图，设＝4i，＝2j，＝4k，则＝－＝－(＋)＝－＝－－－＝－2i－j－4k，故的坐标为(－2，－1，－4).＝－＝－(＋)＝－＋－＝－4i＋2j－4k，故的坐标为(－4，2，－4). (2) (教材P18例1补充)如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． (例1(2)) 【解答】 因为PA＝AB＝1，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以，，是两两垂直的单位向量，以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋＋)＝＋，所以向量的坐标为. (例1(2)答) 变式1　如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (变式1) (1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标； 【解答】 点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k.所以点D′的坐标是(0，0，2).同理，点C的坐标是(0，4，0).点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A′的坐标是(3，0，2).点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2). (2) 写出向量，，，的坐标． 【解答】 　＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)；＝－＝0i＋0j－2k＝(0，0，－2)；＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)；＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2). 探究2　空间向量运算的坐标表示 视角1　空间向量线性运算的坐标表示 例2-1　(1) 在空间直角坐标系中，＝(1，2，3)，＝(4，5，6)，则向量＝(　B　) A. (－3，－3，－3) B. (3，3，3) C. (5，7，9) D. (4，10，18) 【解析】 因为＝(1，2，3)，＝(4，5，6)，所以向量＝－＝(3，3，3). (2) 已知＝(2，－1，3)，＝(－1，4，－2)，＝(5，－6，λ)，若A，B，C，D四点共面，则实数λ＝8． 【解析】 因为A，B，C，D四点共面，所以存在实数m，n，使得＝m＋n＝(2m－n，－m＋4n，3m－2n)，所以解得 视角2　空间向量数量积的坐标表示 例2-2　(1) 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则a·(b＋c)的值为(　B　) A. (4，6，－5) B. 5 C. 7 D. 36 【解析】 因为a＝(2，3，－1)，b＝ ... ...