1.4　第3课时　用空间向量研究距离问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第3课时　用空间向量研究距离问题 学习 目标 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 2. 能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离PQ＝＝． 2. 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的距离．(　×　) (2) 直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是直线到平面的距离．(　√　) (3) 两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面的距离都相等．(　√　) (4) 任意一条直线与任意一个平面都有距离．(　×　) 典例精讲能力初成 探究1　求空间中点到直线的距离 例1　(教材P34例6(1)补充)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． (例1) 【解答】 以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以＝(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，则点B到直线A1C1的距离为d＝＝＝. (例1答) 求直线外一点P到直线l的距离d的方法： 方法一：结合点线距的向量公式； 方法二：先确定直线l上一点B和直线l的方向向量n，再利用d＝||进行计算． 变式1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　B　) A． B. C. D. 【解析】 如图，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz，则＝(0，2，0)，＝(0，1，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝，所以sin 〈，〉＝，于是点A到直线BE的距离为d＝||sin 〈，〉＝. (变式1答) 探究2　求点到平面的距离或直线到平面的距离 视角1　点面距 例2-1　(教材P34例6(2)补充)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　B　) A. B. C. D. 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，O，C1(0，1，0)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，＝.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝. (例2-1答) 求平面外一点到平面的距离的方法 (1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2) 在三棱锥中用等体积法求解． (3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). 视角2　线面距 例2-2　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (例2-2) (1) 求证：B1C∥平面A1BD； 【解答】 如图，连接AB1交A1B于点E，连接DE，则有DE∥B1C.又因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD. (例2-2答) (2) 求直线B1C到平面A1BD的距离． 【解答】 因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．因为AB＝BC，D是AC中点，所以DB⊥AC.过D作DD1∥AA1，交A1C1于点D1，则DD1，DC，DB两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取z＝1，可得n＝(3，0，1).点B1到平面A1BD距离为d＝＝.即直线B1C到平面A1BD的距离是. 视角3　面面距 例2-3　如图，正 ... ...