1.4　第4课时　用空间向量研究夹角问题(1)——线线角与线面角（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第4课时　用空间向量研究夹角问题(1) ———线线角与线面角 学习 目标 1. 能用向量方法求空间中线线角、线面角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间中线线角、线面角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈，〉|＝． 2. 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等．(　×　) (2) 直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　×　) (3) 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　×　) (4) 两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是.(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　两异面直线所成的角 例1　(教材P36例7补充)已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若E是BC的中点，求异面直线A′C与DE所成角的余弦值． 　(例1答) 【解答】 如图，建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，所以＝(a，a，－a)，＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以异面直线A′C与DE所成角的余弦值为. (1) 求两异面直线所成的角时，要注意其范围是. (2) 若两条异面直线所成的角为θ，对应的方向向量分别为m，n，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，可根据此公式求解相关量． 探究2　直线与平面所成的角 例2-1　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，∠ABC＝120°，M为A1C1的中点，求直线BM与平面ABB1A1所成的角． (例2-1) 【解答】 如图，以B为原点，BA，BB1所在的直线分别为x轴、z轴，在平面ABC中过点B作AB的垂线为y轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝BB1＝2，则B(0，0，0)，A1(2，0，)，C1(－1，，)，M，所以＝，易得平面ABB1A1的一个法向量为n＝(0，1，0).设直线BM与平面ABB1A1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，所以θ＝30°，即直线BM与平面ABB1A1所成的角为30°. (例2-1答) 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤： 例2-2　(教材P43第10题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA各棱的中点． (例2-2) (1) 求证：A1C⊥平面EFGHKL； 【解答】 设AB＝1，如图，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C(0，1，0)，K，H，L，＝，＝，＝(－1，1，－1)，则所以A1C⊥LK，A1C⊥KH.因为LK，KH为平面EFGHKL内的两条相交直线，所以A1C⊥平面EFGHKL. (例2-2答) (2) 求DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值． 【解答】 由(1)知平面EFGHKL的一个法向量为＝(－1，1，－1)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，则＝(1，1，1).因为cos 〈，〉＝＝＝－，所以DB1与平面EFGHKL所成角的余弦值为＝. 变式2　如图，底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值． (变式2) 【解答】 取BC的中点O，B1C1的中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC.以O为原点，OC，OA，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，所以＝.取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB.因为平面ABC⊥平面ABB1A1，CM 平面ABC，所以CM⊥平面ABB1A1，所以为平面ABB1A1的一个法向量．因为B，所以M.又因为C，所以＝，从而cos 〈，〉＝＝＝－，故AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为. (变式2答) 随堂内化及时评价 1. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　AB　) (第1题) A. 直线A1B与B1C所成的角为60° B. 直线A1C与C1D所成的角为90° C. 直 ... ...