1.4　第5课时　用空间向量研究夹角问题(2)——两平面的夹角（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

第5课时　用空间向量研究夹角问题(2) ———两平面的夹角 学习 目标 1. 理解空间两平面夹角的概念，能利用向量方法求空间两平面夹角的大小． 2. 通过用空间向量解决空间两平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 如图，若PA⊥α于A，PB⊥β于B，平面PAB交l于E，则∠AEB为二面角α-l-β的平面角，∠AEB＋∠APB＝180°. 若n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角的平面角∠AEB＝，即二面角θ等于它的两个半平面的法向量的夹角或夹角的补角． 2. 平面α与平面β的夹角为θ，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝ ＝ ＝ ．　 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　 　) (2) 若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该二面角的大小等于60°或120°.(　 　) (3) 两平面夹角的取值范围是.(　 　) 典例精讲能力初成 探究1　求两平面的夹角 例1　(教材P37例8)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值． (例1) 求平面与平面夹角的步骤： (1) 建坐标系； (2) 求法向量； (3) 利用cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝求夹角的余弦值. 变式1　如图，在四棱锥P-ABCD中，BD⊥PC，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝1，PB＝，E是棱PD的中点．求平面PAB与平面ACE夹角的余弦值． (变式1) 探究2　已知两平面的夹角求参数 例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝4，BD＝2，PD＝AD＝2，侧棱PD⊥底面ABCD，点E在线段PC上运动． (例2) (1) 求证：AD⊥平面PBD； (2) 若平面PBD与平面BDE的夹角为45°，试确定点E的位置． 解决此类问题(点的位置和棱长)的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程(组)，并解方程(组).若有解，则存在并求得结论成立的条件；若无解，则不存在． 变式2　在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC＝2，AB＝4，∠ABC＝. (变式2) (1) 求证：平面PAC⊥平面PBC； (2) 若二面角A-PB-C的余弦值为，求PA的长． 随堂内化及时评价 1. 已知平面α与平面β的法向量分别为a，b，若cos 〈a，b〉＝－，则平面α与平面β的夹角的大小为(　 　) A. B. C. 或 D. 或 2. 已知两个平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则这两个平面的夹角为(　 　) A. 30° B. 45° C. 90° D. 135° 3. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP的夹角为(　 　) A. B. C. D. 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-CC1-B1的大小为 ． 5. 在如图所示的空间直角坐标系中，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上．若二面角D1-EC-D的大小为，则点E的坐标为 ，点A到平面D1EC的距离d＝ ． （第5题） 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知u＝(－2，2，5)，v＝(6，－4，4)，u，v分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系是(　 　) A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交不垂直 2. 已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，1)，n＝(1，1，1)，则两平面的夹角的正弦值为(　 　) A. B. C. D. 3. 已知平面α过点A(3，0，0)和B(0，4，0)及z轴上一点P(0，0，a)(a>0)，若平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a等于(　 　) A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，若PE＝2EA，则平面ABE与平面BED夹角的余弦值为(　 　) (第4题) A. B. C. D. 二、 多项选择题 5. 如图，在正方体ABC ... ...