第1章 章复习　能力整合与素养提升（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第一册

章复习　能力整合与素养提升 要点梳理系统整合 空间 向量 与立 体几 何 重要 概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内 空间基底 空间任何三个不共面的向量a，b，c都可以构成空间的一个基底 基本 定理 共线定理 a，b(b≠0)共线 存在唯一的实数λ，使得a＝λb 共面定理 p与a，b(a，b不共线)共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb 基本定理 若a，b，c不共面，则对于空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 位置 关系 线线平行 方向向量共线 线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；共面向量定理 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行 线线垂直 两直线的方向向量垂直 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直 空间 角 线线角θ 若两直线的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉| 线面角θ 若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈a，n〉| 面面角θ 若两平面的法向量分别为n1和n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉| 空间 距离 点线距 若直线a的方向向量为a，直线a上任一点为N，则点M到直线a的距离为d＝||·sin 〈，a〉＝|| 两平行线间的距离转化为点线距 点面距 若平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M到平面α的距离为d＝|||cos〈，n〉|＝ 线面距、面面距转化为点面距 考法聚焦素养养成 考法1　利用空间向量证明线面位置关系 例1　如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是棱PA，PD，AB的中点． (例1) (1) 求证：PB∥平面EFH； 【解答】 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0).因为＝(2，0，－2)，＝(1，0，－1)，所以＝2，所以PB∥EH.因为PB 平面EFH，EH 平面EFH，所以PB∥平面EFH. (例1答) (2) 求证：PD⊥平面AHF. 【解答】 因为＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，所以·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，所以PD⊥AF，PD⊥AH.又因为AF∩AH＝A，AF，AH 平面AHF，所以PD⊥平面AHF. 变式1　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2. (变式1) (1) 求证：AE⊥PD； 【解答】 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).因为E是PC的中点，所以E的坐标为(1，1，1)，所以＝(1，1，1).因为＝(0，2，－2)，所以·＝1×0＋1×2＋1×(－2)＝0，从而⊥，故AE⊥PD. (变式1答) (2) 求证：平面PBD⊥平面PAC. 【解答】 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.因为AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为＝(－2，2，0).设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)，由取z＝1，得x＝1，y＝1，所以平面PBD的一个法向量为n＝(1，1，1).因为n·＝1×(－2)＋1×2＋1×0＝0，所以n⊥，故平面PBD⊥平面PAC. 考法2　利用空间向量计算距离 例2　(2024·全国甲卷)如图，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点． (例2) (1) 求证：EM∥平面BCF； 【解答】 由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC.又FC 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF. (2) 求点M到平面ADE的距离． 【解答】 取DM的中点O，连接OA，OE.因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝.又AD＝，故△ADM是等腰三角形，同理△ ... ...