6.3.1 离散型随机变量的均值 课件(共15张PPT) 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学选择性必修第一册

(课件网) 第六章 概率 6.3.1 离散型随机变量的均值 1.通过实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量的均值的性质. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 情境：某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？ 18元/千克 24元/千克 36元/千克 方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克. 方案2：按照三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克. 方案3：按照三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为 元/千克. 问题1：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示. 环数 X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢 分析：两组数据比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 解：假设甲射箭 n 次，射中 7 环、8 环、9 环和 10 环的频率分别为 甲 n 次射箭射中的平均环数为 当 n 足够大时，频率稳定于概率，所以 稳定于 即甲射中平均环数的稳定值 (理论平均值) 为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 离散型随机变量的均值 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示， 则称： 为随机变量 X 的均值或数学期望， 简称期望. 注意：1. 均值 EX 刻画的是 X 取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量 X 取值的平均水平，是随机变量 X 的一个重要特征； 2. 两个不同的分布可以有相同的均值； 3. 均值 EX 是随机变量 X 取各个值的加权平均，由 X 的分布列完全确定； 4. 均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. 例1：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少 解：由题意得，X 的分布列为 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 求离散型随机变量的均值的步骤： 1. 确定取值：根据随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值； 2. 求概率：求 X 取每个值的概率； 3. 写分布列：写出 X 的分布列； 4. 求均值：由均值的定义求出 EX. 重要步骤 例2：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 X，求 X 的均值. 解：由题意得，X 的分布列为 即点数 X 的均值是 3.5 . 思考：抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数只可能是1，2，3，4，5，6，为什么会出现均值是 3.5 呢？ 问题 2：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数 X 的均值为 3.5. 随机模拟这个试验，重复 60 次和重复 300 次各做 6 次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数 (样本均值) 绘制统计图，分别如图 (1) 和 (2) 所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别 观察图形可以发现：在这 12 组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数 X 的均值 3.5 附近波动，且重复掷 300 次的样本均值波动幅度明显小于重复 60 次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动；随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值. 1.在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数 X 的均值. 解：由题意得，X 可能的取值为1，2，3，4，5，则 X 1 2 3 4 5 ... ...