1.1.2空间向量的数量积（2知识点 7题型）讲义（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学同步讲练（人教A版选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积 ( 内容导图 预览 ) ( 新知要点探究 ) 知识点1 空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉=那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c). 知识点2 空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=cos θ. (2)a⊥b a·b=0. (3)当a，b同向时，a·b=； 当a，b反向时，a·b=-. (4)a·a=|a|2或|a|=. (5)|a·b|≤. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. ( 思路方法总结 ) 1、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定． 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． 2、求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； 第四步：代入求解． 3、空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：． 将其推广： 4、利用向量法证明垂直关系的步骤 第一步：将已知的几何问题转化为向量问题； 第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量； 第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； 第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论． ( 典例·举一反三 ) 题型一 数量积的概念及运算律 1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知，是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型二 求向量的数量积 3．已知向量是空间中三个两两垂直的单位向量，，则的值为（ ） A．0 B．-20 C．20 D．40 4．已知向量和的夹角为，且，，则等于（ ） A．12 B ... ...