(课件网) 5.1.1 勾股定理 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系。 2.能够运用勾股定理进行简单的计算。 第14届国际数学教育大会(ICME—14)的会标蕴藏着丰富的数学元素，展示了我国古代数学文化的魅力。尤其是位于螺旋中心，由四个直角三角形构成的正方形图案，是依据汉末三国初数学家赵爽的弦图创作的。 赵爽弦图 它是由什么图形组成的？蕴含着怎样的数学知识？ 观察与发现：剪四个全等的直角三角形，拼一拼，拼出下图所示的图形，判断这个图形中四个全等三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状，并说明理由。 两个四边形都是正方形。 因为它们各自的边相等，四个角都为直角。 思考与交流：设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边长为c。观察下图，这两个正方形的面积怎样表示？它们有什么关系？从中你能发现直角三角形的三边a，b，c之间有什么关系吗？ b-a 大正方形的面积为c2，小正方形的面积为(b-a)2。 由图可知c2＝(b-a)2＋4×ab， ∴a2＋b2＝c2。 利用手中四个全等的直角三角形纸片，你还能拼出其它不同的正方形吗？试一试。拼出的图形可以说明a2＋b2＝c2吗？ a b c a a b b b a c c c 大正方形的面积为(a＋b)2， 小正方形的面积为c2。 由图可知(a＋b)2＝c2＋4×ab， ∴a2＋b2＝c2。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在直角三角形中，如果两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2。 a b c 较短的直角边 勾 斜边 弦 所以这个定理在我国被称为勾股定理。 较长的直角边 股 例1 在△ABC中，BC＝6，AB＝AC＝5。求△ABC的面积。 解：如图，作BC边上的高AD。 ∵AB＝AC，BC＝6，∴BD＝BC＝3， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝5，BD＝3， 由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝52－32＝16， ∴AD＝4， ∴S△ABC＝BC·AD＝××6×4＝12，即△ABC的面积为12。 A B C D 练一练：在 Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为 a， b， c，∠ C=90°。 (1)已知 a=6， b=8，求 c； (2)已知 c=17， a=15，求 b； (3)已知 a∶ b=3∶ 4， c=15，求 b。 解： (1)∵∠ C=90° ， a=6， b=8，∴ c2=a2+b2=62+82=100，∴c=10。 (2)∵∠ C=90° ， c=17， a=15，∴b2=c2-a2=172-152=64，∴b=8。 (3)∵a∶ b=3∶ 4，∴设 a=3x，则 b=4x(x＞0)。 又∵∠C=90° ， c=15，∴(3x)2+(4x)2=152，∴ x=3，∴b=4x=12。 例2 《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。大意为：如图，有一个边长为10尺的正方形水池，在水池正中间有一根芦苇AD，它高出水面1尺，即CD为1尺。如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B处，它的顶端刚好到达岸边的水面，问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少。 解：设水池的水深为x尺，则这根芦苇的长度为(x＋1)尺，即AC＝x，AD＝x＋1。 在Rt△ABC中，BC＝5，AB＝AD＝x＋1， 由勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝(x＋1)2， 解得x＝12 ，∴x＋1＝13， ∴这个水池的水深为12尺，这根芦苇的长度为13尺。 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ） A. 225 B. 200 C. 250 D. 150 A 2.求下列直角三角形中未知边的长。 5 12 x 25 15 y 解：由勾股定理得：122+52=x2 所以 x2=169，且x>0 所以 x=13 解：由勾股定理得：152+y2=252 所以 y2=400，且y>0 所以 y=20 3.如图，已知一根长8 m的竹竿在离地3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有_____m. 4 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形 的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2. A B C a ... ...
