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课件网) 人教版八年级数学上册 第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 情 境 导 入 最短路径问题 1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短. 2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC 最短，因为垂线段最短. 3. 三角形的三边关系是？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边. 复习回顾 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 如图，一位将军从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 抽象成 A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 实际问题 A B l C 生活中的数学 新 课 探 究 最短路径问题 现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ A l B C 根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求. 连接 AB，与直线 l 相交于点 C. 任务一 将军饮马问题 探究 新 课 探 究 最短路径问题 任务一 将军饮马问题 探究 如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？ 如果将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等，就可以了！ A l 利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′. B B′ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． A B l B′ C 如何证明？ 总结归纳 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与 点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′， ∴ AC + BC＜AC′ + BC′， 即 AC + BC 最短． 证明 A B l B′ C C′ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 思考： “将军饮马”问题解决过程中为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的 C′ 的作用是什么？ 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 思考： 你还有其他的方法吗？ (1) 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′； (2) 连接 A′B，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． A B l A′ C 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ） A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 A B l C B′ D 练一练 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） P Q l A M P Q l B M P Q l C M P Q l D M D 典例精析 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ） A．7.5 B．5 C．4 D ... ...
