5.4　第4课时　正切函数的性质与图象（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）必修 第一册

第4课时　正切函数的性质与图象 学习 目标 1. 掌握正切函数的周期性和奇偶性，会求y＝tan (ωx＋φ)的周期． 2. 掌握正切函数的图象和单调性，能运用正切函数的图象和单调性解决一些简单问题． 新知初探基础落实 请同学阅读课本P209—P212，完成下列填空． 一、 概念表述 1. 函数y＝tan x的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 x≠＋kπ，k∈Z} 值域 R 最小正周期 _ _ 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间_ _上都是增函数 对称性 对称中心 二、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”．) (1) 正切函数的定义域和值域都是R.(　 　) (2) 正切函数在R上单调递增．(　 　) (3) 正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心．(　 　) (4) 正切函数的最小正周期为π.(　 　) 典例精讲能力初成 探究1　正切函数的定义域与值域 例1　(1) 函数y＝lg (tan 2x)的定义域是(　 　) A. (k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z) (2) 函数y＝tan ，x∈的值域是 ． (1) 求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. (2) 对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (3) 对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 变式　(1) 函数y＝3tan 的定义域为 ； (2) 函数y＝tan2x－2tanx的值域为 ． 探究2　正切函数的周期性、奇偶性 例2　(1) 若f(x)＝tan ωx(ω>0)的周期为1，则f的值为(　 　) A. －　 B. － C. 　 D. (2) 已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝ ． (1) 一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常利用此公式来求周期； (2) 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 变式　已知函数f(x)＝3tan (ω>0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则ω＝ ． 探究3　正切函数的单调性及应用 例3　(课本P212例6)求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间． (1) 运用正切函数单调性比较大小：运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2) 求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 变式　(1) 求y＝tan 的单调区间． (2) 比较tan 与tan 的大小． (3) 解不等式tan ≤. 探究4　正切函数图象及运用 例4　在(0，π)内，使tan x＞－成立的x的取值范围为(　 　) A. 　 B. ∪ C. ∪　 D. 解正切函数图象与性质问题的注意点： (1) 对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． (2) 单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． 变式　已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，且f(π)＝－1，则f＝(　 　) (变式) A. 　 B. C. 2－　 D. 随堂内化及时评价 1. 函数y＝3tan 的定义域是(　 　) A. x≠kπ＋，k∈Z} B. x≠＋，k∈Z} C. x≠＋，k∈Z} D. x≠，k∈Z} 2. 若函数y＝－3＋a sin x(a<0)的最大值为－1，则y＝tan [(a－3)x]的最小正周期为(　 　) A. 　 B. C. 　 D. 3. (2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　 　) A. 　 B. C. 　 D. 4. 函数f(x)＝tan 的单调递增区间为 ． 5. (课本P213练习1)借助函数y＝tan x的图象解不等式tan x≥－1，x∈∪. 配套新练案 一、 单项选择题 1. 函数y＝的值域是(　 　) A. (－1，1) B. (－∞，－1)∪(1，＋∞) C. (－∞，1) D. (－1，＋∞) 2. 已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则(　 　) A. 0<ω≤1　 ... ...