5.2.1 基本初等函数的导数 课件（15页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

5.2.1 基本初等函数的导数 1.能根据定义求常见函数的导数，加深对导数概念的理解，并熟悉具体的求解步骤. 求函数????=????(????)在点x0处的导数. ? 合作完成：求常函数f(x)=c以及常用幂函数的导数. 原函数 导函数 f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=____ f(x)=x f'(x)=____ f(x)=x2 f'(x)=____ f(x)=x3 f'(x)=____ f(x)=1???? f'(x)=_____ f(x)=???? f'(x)=_____ 原函数 导函数 f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=____ f(x)=x f'(x)=____ f(x)=x2 f'(x)=____ f(x)=x3 f'(x)=____ f'(x)=_____ 0 1 2x 3x2 -1????2 ? 12???? ? 改写成幂指数形式 由此推测,对任意的幂函数????=???????? ，都有：(????????)′ =?????????????1 ? 基本初等函数的导数公式 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 原函数 导函数 f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝_____ f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_____ f (x)＝sin x f ′(x)＝_____ f (x)＝cos x f ′(x)＝_____ f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ex f ′(x)＝_____ f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____(a＞0，且a≠1) f (x)＝ln x f ′(x)＝_____ 0 ?????????????1 ? cos???? ? ?sin???? ? ????????ln???? ? ???????? ? 1????ln???? ? 1???? ? 知识梳理 思考:(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系? (2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系? (1)f(x)=ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况. (2)f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例，f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例. 例1 求下列函数的导数. 求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)利用导数的定义求导，但运算比较复杂； (2)利用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征，将题中的函数化为基本初等函数，再选择合适的求导公式求解. 归纳总结 例2?已知函数f(x)=????，求曲线y=f(x)在点A(4，2)处的切线方程. ? 解：由f(x)=????得f'(x)=12????， 在点A(4，2)处的切线k=f'(4)=14， 故所求切线方程为y-2=14(x-4)，即x-4y+4=0. ? 例2 求曲线y＝1????在点(2，12)处的切线方程. ? 解：∵点(2，12)在曲线y＝1????上， ∴曲线在该点的切线斜率为k＝lim△????→012+△?????12△????=lim△????→0?12(2+△????)=?14， 由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝?14(x－2)，即x＋4y－4＝0. ? 变式：求曲线y=f(x)=????上与直线y=2x-4平行的切线方程. ? 解：设切点为(x0，y0)， 由f(x)=????得f'(x)=12????，故f'(x0)=12????0， ∵切线与直线y=2x-4平行，∴12????0=2， ∴x0=116，∴y0=14， 故所求切线方程为y-14=2(x-116)，即16x-8y+1=0. ? 归纳总结 求曲线方程或切线方程时，应注意： 1.切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； 2.曲线在切点处的导数就是切线的斜率； 3.必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． BCD 1.(多选)下列选项正确的是( ) 2.若f(x)＝a3(a>0，且a≠1)，则f'(2)等于( ) A.8 　　　　B.12 　　　　C.8ln 3 　　　　D.0 D C x＋y－6＝0 {74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式 ????′ = (????????)′= (????????)′= (log????????)′= (sin????)′ = (????)′ = (????????)′= (ln????)′= {74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式 0 ? ?????????????1 ? ????????ln???? ? 1????ln???? ? cos???? ? ?sin???? ? ???????? ? 1???? ... ...