5.2.3 简单复合函数的导数 课件（15页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

5.2.3 简单复合函数的导数 第5章 1.理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则； 2.能用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数. 我们已经学习了导数的计算，大家都知道函数y＝sin x的导数是y＝cos x，那么函数y＝sin 2x的导函数是不是y＝cos 2x呢？ 怎样求诸如y＝sin 2x的简单复合函数的导数呢？ ????′=(2sin????cos????)′ =2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′ =2cos2?????2sin2???? =2cos 2???? ? 一般地，已知函数 y = f (u) 和 u = g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f (g(x)) 有意义，且称 为函数f (u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量. 复合函数 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 练习：(多选)下列哪些函数是复合函数( ) A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=esin x D.y=sin12????+π3 ? BCD 已知?????=sin2????，????????=sin????，????????=2????. 讨论：分别求出?′????，????′????，????′????，并总结它们之间的关系. ? 因为?????=sin2????=2sin????cos????，所以 h′(????)=(2sin????cos????)′ =2(sin????)′cos????+2sin?????(cos????)′ =2cos2?????2sin2???? =2cos 2????. 又因为????′????=cos????，g′????=2，所以 ?′????=????′g(????)g′????. ? 一般地，如果函数????=????????与????=????????的复合函数为 ????=?????=????????(????)， 则可以证明，复合函数的导数?′????与????′????，????′????之间的关系为 ?′????=????????????′=????′????????′(????)=????′(????????)????′????. ? 这一结论也可以表示为????′????=????′?????????′????. ? 复合函数的导数等于外层导数乘以内层导数. 复合函数的求导法则 例1 求下列函数的导数. (1)y=(2x+3)2；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=sin(πx+φ). 解:(1)令u=2x+3，函数y=(2x+3)2可以看成函数y=u2，u=2x+3的复合函数， 故yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u·2=4(2x+3)=8x+12. (2)令u=-0.05x+1，函数y=e-0.05x+1可以看成函数y=eu，u=-0.05x+1的复合函数， 故yx'=yu'·ux'=(eu)'·(-0.05x+1)'=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1. (3)令u=πx+φ，函数y=sin(πx+φ)可以看成函数y=sin u，u=πx+φ的复合函数， 故yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(πx+φ)'=cos u·π=πcos(πx+φ). 归纳总结 求复合函数的导数的步骤: 例2 若曲线y=f(x)=esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程. ? 解：设u=sin x，则f'(x)=(esin x)'=(eu)'(sin x)'=cos xesin x. 令x=0，得f'(0)=1. 则切线方程为y-1=x-0，即x-y+1=0. 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x-y+c=0. 两平行线间的距离d=?????1|2=2，解得c=3或c=-1. 故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0. ? (1)正确求导是关键. (2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标. 复合函数应用问题的注意点 归纳总结 结合以下关键词，说说你这节课的收获： 1. 复合函数； 2. 复合函数的导数 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cos x.( ) (2)函数y=ln(2x)不是复合函数.( ) (3)复合函数y=cos(3x-π4)的导数是y'=-sin(3x-π4).( ) ? × × × 2.(多选)下列结论中不正确的是( ) A.若y=cos 1????，则y'=-1????sin 1???? B.若y=sin x2，则y'=2xcos x2 C.若y=cos 5x，则y'=-sin 5x D.若y=12xsin 2x，则y'=xsin 2x ? ACD 3.函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f'(2)＝5，则a等于( ) A.1 　　　　B.－1 　　　　C.2 　　　　D.－2 4.曲线y＝2xex－2在点(2，4)处切线的斜率等于( ) A.2e 　　 ... ...