5.2.3 简单复合函数的导数 课件（17页） 2025-2026学年苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册

5.2.3 简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念. 2.掌握复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数. 导数的四则运算法则 导数定义 基本初等函数 导数的四则运算法则 问题1：对于函数y=ln(2x-1)，利用以下知识是否能求出它的导数呢？ × × × 复合函数求导问题 （ ） 知识梳理 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 复合函数可分为内外两层： f (u)为外层函数 g(x)为内层函数. 内、外层函数通常为基本初等函数 练习：指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的. (1)????=(3+sin????)4； (2)????=ln12????+1； (3)????=22?????1； (4)????=11?cos????. ? (????=????4，????=3+sin????) ? (????=ln????，????=12????+1) ? (????=2????，????=2?????1) ? (????=1????，????=1?cos????) ? 问题2： 如何求函数????=sin 2????的导数. ? 函数????=sin 2????是复合函数，令????=2????，得????=sin ????， 以????????′表示????对????的导数，????????′表示????对????的导数，一方面， ????????′ =(sin 2?????)’=(2sin ????cos ?????)’=2(sin ?????)’?cos ????+sin ?????(cos ?????)’ =?2cos ?????cos ????+sin ?????(?sin ????) =2(cos2?????sin2????) = 2cos 2????， 另一方面????????′ =(sin ?????)’= cos ?????，????????′ =(2?????)’=2， 可以发现????????′= 2cos 2????=cos ?????2=?????????′ ?????????′. ? 知识梳理 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x. 特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y'x＝y'u·u'x，即y'x＝y'u·a. 注意：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 例1 求下列函数的导数： (1)y＝11?3????4；(2)y＝cos2????+π3；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2. ? 解：(1)令u＝1－3x，则y＝1????4＝u－4， 所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3. 所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝121?3????5. (2)令u＝2x＋ π3?，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sin 2????+π3. ? (3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2. (3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2????ln2＝ 22????+1ln2. (4)设y＝eu，u＝3x＋2，则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2. ? 复合函数求导的步骤 归纳总结 例2 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝14相切，求a的值. ? 解：∵f'(x)＝a(x2)'＋2·12?????·(2－x)'＝2ax－22?????， ∴f'(1)＝2a－2又f(1)＝a＋2ln 1＝a， ∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，即2(a－1)x－y－a＋2＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，∴圆心(0，0)到直线l的距离为12， ∴|2?????|4(?????1)2+1=12，解得a＝118. ? 关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用. (2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用. 归纳总结 1.(多选)下列函数是复合函数的是( 　) A．y＝－x3－1????＋1 B．y＝cos????+π4 C．y＝1ln???? D．y＝(2x＋3)4 2.已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于( 　) A.2cos 2x＋2e2x B.cos 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D ... ...