2.2　第2课时　直线的两点式方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　直线的两点式方程 学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程、截距式方程，注意两种方程的适用范围． 2. 能根据直线的两点式方程、截距式方程求直线方程，并会熟练运用它们解决有关问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的方程为＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．当直线的斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程．若x1＝x2，y1≠y2，则直线方程为x－x1＝0．若y1＝y2，x1≠x2，则直线方程为y－y1＝0． 2. 经过两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)的直线的方程为＋＝1，我们把它叫做直线的截距式方程，简称截距式．其中a，b为直线在两坐标轴上的截距． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　×　) (2) 能用两点式方程表示的直线也可以用点斜式方程表示．(　√　) (3) 能用截距式方程表示的直线都能用两点式方程表示．(　√　) (4) 直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　直线的两点式方程 例1　(教材P63例4补充)已知△ABC的三个顶点是A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，3)，求△ABC的三边及AB边上的中线所在直线的方程． 【解答】 由两点式知边AB所在直线的方程为＝，即x＋4y＋1＝0.同理，边BC所在直线的方程为＝，即2x＋y－5＝0；边AC所在直线的方程为＝，即3x－2y＋3＝0.综上，直线AB的方程为x＋4y＋1＝0，直线BC的方程为2x＋y－5＝0，直线AC的方程为3x－2y＋3＝0.由中点坐标公式，得AB边上的中点D的坐标为，即.因为C，D两点的横坐标相同，所以直线CD的方程为x＝1. 探究2　直线的截距式方程 例2　(1) 已知直线l过点P(－6，3)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程． 【解答】 ①当直线l在y轴上的截距为零时，直线l过原点，可设直线l的方程为y＝kx.因为直线l过点P(－6，3)，所以3＝－6k，k＝－，从而直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.②当直线l在y轴上的截距不为零时，由题意可设直线l的方程为＋＝1.又直线l过点P(－6，3)，所以＋＝1，解得b＝1，从而直线l的方程为＋y＝1，即x＋3y－3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x＋3y－3＝0. (2) 已知直线l经过点(7，1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程． 【解答】 当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上的截距均等于0，故直线l的斜率为，所以直线l的方程为y＝x，即x－7y＝0.当直线l不过原点时，设其方程为＋＝1.由题意可得a＋b＝0①.又l经过点(7，1)，则＋＝1②.由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为＋＝1，即x－y－6＝0.故直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0. 用截距式求直线方程的步骤 (1) 由已知条件确定直线在x轴和y轴上的截距． (2) 若两截距都为0，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距都不为0，则利用公式＋＝1可得所求直线方程． 探究3　直线方程的综合应用 例3　(1) 已知直线l过点P(1，2)，且与x轴、y轴分别交于点A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，O为坐标原点，则|OA|＋2|OB|的最小值为9． 【解析】 因为直线l与x轴、y轴分别交于点A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，所以可设直线的方程为＋＝1.因为直线l过点P(1，2)，所以＋＝1，且a>0，b>0，从而|OA|＋2|OB|＝a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝3时取等号，故|OA|＋2|OB|的最小值为9. (2) 已知点A(3，0)，B(0，4)，且动点P(x，y)在线段AB上运动，则(　D　) A. xy无最小值，且无最大值 B. xy无最小值，但有最大值3 C. xy有最小值0，但无最大值 D. xy有最小值0，且有最大值3 【解析】 线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，于是y＝4(0≤x≤3)，从而xy＝4x＝ ... ...