2.2　第3课时　直线的一般式方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第3课时　直线的一般式方程 学习 目标 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程． 2. 会选择适当的方程形式求直线的方程，会进行直线方程五种形式间的转化． 新知初探基础落实 一、 概念表述 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0，即A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意：(1) A，B不全为0时，方程才能表示一条直线．若A，B全为0，则方程不能表示一条直线． 当B≠0时，方程可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线． 当B＝0，A≠0时，方程可变形为Ax＋C＝0，即x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线． (2) 在平面直角坐标系中，一个关于x，y的二元一次方程对应唯一的一条直线；反过来，一条直线可以对应无数个关于x，y的一次方程． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 平面内任意一条直线都可以用直线的一般式方程表示．(　√　) (2) 所有其他形式的直线方程(如点斜式、斜截式、两点式、截距式)都能化为一般式．(　√　) (3) 直线的一般式方程可以化为点斜式和截距式．(　×　) (4) 直线y＝1在y轴上的截距为1，在x轴上的截距不存在．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　直线的一般式方程 例1　(教材P65例5补充)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式． (1) 斜率为，且经过点A(5，3)； 【解析】 由点斜式方程得y－3＝(x－5)，即x－y＋3－5＝0. (2) 过点B(－3，0)，且垂直于x轴； 【解析】 x＝－3，即x＋3＝0. (3) 斜率为4，在y轴上的截距为－2； 【解析】 y＝4x－2，即4x－y－2＝0. (4) 在y轴上的截距为3，且平行于x轴； 【解析】 y＝3，即y－3＝0. (5) 经过C(－1，5)，D(2，－1)两点； 【解析】 由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0. (6) 在x轴、y轴上截距分别是－3，－1. 【解析】 由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0. 探究2　含参数的直线的一般式方程 例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1) 若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝－； 【解析】 由题意知m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.令y＝0，得x＝，所以＝－3，即3m2－4m－15＝0，解得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－. (2) 若直线l的斜率为1，则m＝－2． 【解析】 将直线l的方程化为斜截式，得y＝x＋，则＝1，即m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2. (1) 当A，B不同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0才能表示直线． (2) 令x＝0，可得直线在y轴上的截距．令y＝0，可得直线在x轴上的截距．若确定直线的斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3) 解分式方程时要注意验根． 变式2　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足a≠－2． 【解析】 由得a＝－2.因为方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，所以a≠－2. 探究3　利用一般式解决直线平行或垂直问题 例3　(1) 已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值． 【解析】 方法一：①当m＝0时，l1与l2显然不平行．②当m≠0时，由l1∥l2，得＝≠，解得m＝2或m＝－3，所以m的值为2或－3. 方法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，l1与l2显然不重合，所以l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，所以l1∥l2.综上，m的值为2或－3. (2) 当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直？ 【解答】 方法一：①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②当2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③当 1－a≠0且2a＋3≠0时，直线l1，l2的斜率k1，k2都存在 ... ...