2.5　第2课时　直线与圆的位置关系的应用（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　直线与圆的位置关系的应用 典例精讲能力初成 探究1　直线与圆的方程的实际应用 例1－1　(教材P94例4补充)已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40 km处，求B城市处于危险区内的时间． 【解答】　如图，以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为20 km，所以射线AC被以B为圆心、30 km为半径的圆截得的弦长为2＝20 km，从而B城市处于危险区内的时间为t＝＝1 h． (例1－1答) 例1－2　有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品并运回来，A地每千米的运费是B地每千米运费的两倍．若A，B两地相距10 km，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 【解答】　如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km，则从B地运货到P地的运费为a元/km．若P地居民选择在A地购买此商品，则2a＜a，整理得＋y2＜，即点P在圆C：＋y2＝的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购买此商品，同理可推得圆C外的居民应在B地购买此商品，圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购买此商品． (例1－2答) 探究2　圆上的点到直线的距离 例2　圆(x－2)2＋y2＝2上的动点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为，最大值为3． 【解析】　圆(x－2)2＋y2＝2的圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，从而圆(x－2)2＋y2＝2上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2－＝，最大值为2＋＝3． 变式2　(教材P99第13题改编)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b．当b＝±时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1． 【解析】　因为圆的方程为x2＋y2＝4，所以圆心坐标为(0，0)，半径为2．因为圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l的距离都等于1，所以只需要圆心到直线l：y＝x＋b的距离为1即可满足条件．直线l的方程可化为x－y＋b＝0，所以圆心到直线l的距离为＝1，解得b＝±，故当b＝±时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1． 探究3　与圆有关的最值问题 例3　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0． (1) 求的最大值和最小值； 【解答】　如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2，0)为圆心、为半径的圆．设＝k，即y＝kx，易知当圆心(2，0)到直线y＝kx的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大值或最小值．由＝，得k2＝3，所以k＝或k＝－，从而的最大值为，最小值为－． (例3答) (2) 求y－x的最大值和最小值； 【解答】　设y－x＝b，则y＝x＋b，则直线y＝ x＋b与圆相交或相切．由点到直线的距离公式，可得≤，得－2－≤b≤－2＋，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－． (3) 求x2＋y2的最大值和最小值． 【解答】　x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4． 随堂内化及时评价 1．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的距离的最小值为2－1． 【解析】　由题意知圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心坐标为(－2，1)，半径为1．因为圆心(－2，1)到直线y＝x－1的距离d＝＝2，所以所求距离的最小值是2－1． 2．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2＝4上任意一点，则的最小值为． (第2题答) 【解析】　由题意可得m≠－2，则表示圆C：x2＋y2＝4上的点M(m，n)(m≠－2)与点P(－2，－3)连线的斜率．显然当连线过点P(－2，－3)且与圆 ... ...