3.1　第1课时　椭圆及其标准方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭　　圆 第1课时　椭圆及其标准方程(1) 学习 目标 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 2．椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2－b2＝c2 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段．(　√　) (2) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　×　) (3) 平面内到F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　√　) (4) 平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　×　) 典例精讲能力初成 探究1　椭圆的定义及辨析 例1　已知F1，F2是两个定点，且|F1F2|＝2a(a是正常数)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a2＋1，则动点P的轨迹是(　C　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【解析】　因为a2＋1≥2a (当且仅当a＝1时等号成立)，所以|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|．当a＞0且a≠1时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时动点P的轨迹是椭圆；当a＝1 时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时动点P的轨迹是线段F1F2． 设平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a．当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在． 变式1　如果点M(x，y)在运动过程中，其坐标总满足关系式＋＝4，则点M的轨迹(　B　) A．不存在 B．是椭圆 C．是线段 D．是圆 【解析】　＋＝4表示点M(x，y)到点(0，－3)，(0，3)的距离之和为4，而3－(－3)＝6＜4，所以点M的轨迹是椭圆． 探究2　求椭圆的标准方程 视角1　用定义法求椭圆的标准方程 例2－1　(教材P107例1补充)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 【解答】　由题意得a＝2，b＝1，且椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1． (2) 两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，经过点(5，0)； 【解答】　由焦点坐标知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又a＝5，所以b2＝16，从而所求椭圆的标准方程为＋＝1． (3) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10； 【解答】　由焦点坐标知椭圆的焦点在x轴上，且c＝4．由点P到两焦点的距离之和为10，得a＝5，则b2＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1． (4) 两个焦点的坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26． 【解答】　因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5，从而b2＝a2－c2＝144，于是椭圆的标准方程为＋＝1． 定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值． 视角2　用待定系数法求椭圆的标准方程 例2－2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1) 焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点(4，3)； 【解答】　因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为所求椭圆经过点(4，3)，所以＋＝1．又c2＝a2－b2＝4，解得a2＝36，b2＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1． (2) 经过点(2，3)，且与椭圆9x2＋4y2＝3 ... ...