3.1　第2课时　椭圆及其标准方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

第2课时　椭圆及其标准方程(2) 学习 目标 1．初步体验并利用相关点法求解与椭圆有关的曲线的轨迹方程问题． 2．了解直译法在求解椭圆(或圆锥曲线)轨迹方程问题中的思路过程． 典例精讲能力初成 探究1　定义法求轨迹 例1　已知圆F1，圆F2的圆心分别为点F1(－2，0)，F2(2，0)，半径分别为r1，r2，且r1＝2，r2＝6；圆P的圆心为点P(x，y)，半径为r． (1) 写出圆F1，圆F2的标准方程，并判断其位置关系； 【解答】　因为圆F1，圆F2的圆心分别为点F1(－2，0)，F2(2，0)，半径分别为r1，r2，r1＝2，r2＝6，所以圆F1的标准方程为(x＋2)2＋y2＝4，圆F2的标准方程为(x－2)2＋y2＝36，且|F1F2|＝4．因为|F1F2|＝r2－r1＝6－2＝4，所以圆F1，圆F2内切． (2) 若圆P与圆F1外切且圆P与圆F2内切，求圆心P的轨迹方程． 【解答】　因为动圆P的半径为r，动圆P与圆F1外切且与圆F2内切，所以r＜6，且|PF1|＋|PF2|＝r＋2＋(6－r)＝8＞|F1F2|，由椭圆的定义可知，动点P在以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆上．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，则a＝4，c＝2，从而b2＝16－4＝12．又因为圆F1，圆F2内切，所以点P不能在切点处，即点P的坐标不能是(－4，0)，故动圆的圆心P的轨迹方程为＋＝1(x≠－4)． (例1答) 探究2　相关点法求轨迹 例2　如图，线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|＝6，M是AB上一点，且|AM|＝2，求点M的轨迹方程． (例2) 【解答】　设M(x，y)，则A，B(0，3y)．由|AB|＝6，得2＋(3y)2＝36，故点M的轨迹方程为＋＝1． 变式2　如图，从圆x2＋y2＝25上任意一点P向x轴作垂线段PP1，且线段PP1上一点M满足|PP1|∶|P1M|＝5∶3，求点M的轨迹方程． (变式2) 【解答】　设M(x，y)，则P(y≠0)，把点P的坐标代入x2＋y2＝25，得x2＋y2＝25，即＋＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 椭圆的轨迹问题的求法 (1) 定义法：如果动点P的运动规律符合已知的某种曲线(如圆、椭圆等)的定义，那么可先设出轨迹方程，再根据已知条件，用待定系数法求出方程中的参数，即可得到动点P的轨迹方程； (2) 直译法：如果难以判断动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义，但易于建立点P满足的等量关系，那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标表示该等量关系式，即可得到动点P的轨迹方程； (3) 相关点法：如果动点P的运动是由另外某一点P′的运动引发的，而点P′的运动规律已知(点P′的坐标满足某已知曲线的方程)，那么可以设出点P的坐标(x，y)，并用x，y表示出相关点P′的坐标，然后把点P′的坐标代入已知曲线的方程，即可得到动点P的轨迹方程． 探究3　直译法求轨迹 例3　已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－6，0)，(6，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，求顶点C的轨迹方程． 【解答】　设C(x，y)，显然x≠±6，则·＝－，所以9y2＋4(x2－36)＝0，从而顶点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±6)． 随堂内化及时评价 1．已知||＝3，点A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点．若＝＋，则点P的轨迹方程为(　A　) A．＋y2＝1 B．x2＋＝1 C．＋y2＝1 D．x2＋＝1 【解析】　设P(x，y)，A(0，a)，B(b，0)．由＝＋，得(x，y)＝(0，a)＋(b，0)，所以a＝3y，b＝x．因为||＝3，所以a2＋b2＝9，从而(3y)2＋2＝9，即点P的轨迹方程为＋y2＝1． (第2题) 2．如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2，0)，线段AP的垂直平分线交BP于点Q，求点Q的轨迹方程． 【解答】　连接AQ(图略)．因为线段AP的垂直平分线交BP于点Q，所以|AQ|＝|PQ|，从而|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝|PB|＝6．又|AB|＝4，所以|AQ|＋|BQ|＞|AB|，从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，于是a2＝9，c2＝4，b2＝a2－c2＝5，故点Q的轨迹 ... ...