3.2　第1课时　双曲线及其标准方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

3.2　双曲线 第1课时　双曲线及其标准方程 学习 目标 1．了解双曲线的定义以及双曲线的几何图形和标准方程． 2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用双曲线的标准方程解决相关问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 1．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数2a(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．若|MF1|＞|MF2|，则点M的轨迹是靠近焦点F2的那一支；若|MF1|＜|MF2|，则点M的轨迹是靠近焦点F1的那一支． 注意：以焦点F1，F2在x轴上为例，且点F1是左焦点，点F2是右焦点．设||PF1|－|PF2||＝2a． (1) 若2a＝|F1F2|，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． (2) 若2a＞|F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，此时动点P的轨迹不存在． (3) 特别地，当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 2．双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2) 在双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．(　×　) (3) 双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系与椭圆标准方程中的a，b，c之间的关系相同．(　×　) (4) 方程mx2＋ny2＝1(mn＜0)表示双曲线．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　双曲线的定义及应用 例1　(1) 已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，那么|PF2|＝33． 【解析】　由双曲线的方程－＝1，可得a＝8，b＝6，c＝10．由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离|PF2|≥c－a＝2．因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33． (2) 已知O为坐标原点，A(－5，0)，B(5，0)，若点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝14，且满足－＝2，则点P的坐标是． 【解析】　由A(－5，0)，B(5，0)，点P满足|PA|＋|PB|＝14＞|AB|，及椭圆的定义可得点P的轨迹是椭圆，且2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24，从而点P在椭圆＋＝1上．因为点P(x，y)满足－＝2，所以|PA|－|PB|＝2＜|AB|．由双曲线的定义可得点P在双曲线x2－＝1(x≥1)上．联立椭圆方程与双曲线方程可得y＝±，x＝，所以点P的坐标是． 探究2　求双曲线的标准方程 例2　(教材P120例1补充)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1) 过点P，Q，且焦点在坐标轴上； 【解答】　设双曲线的方程为＋＝1(mn＜0)．因为P，Q两点在双曲线上，所以解得从而所求双曲线的标准方程为－＝1． (2) c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上； 【解答】　因为双曲线的焦点在x轴上，c＝，所以设所求双曲线的方程为－＝1(0＜λ＜6)．因为双曲线经过点(－5，2)，所以－＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，从而所求双曲线的标准方程为－y2＝1． (3) 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)． 【解答】　设所求双曲线的方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，从而所求双曲线的标准方程为－＝1． 求双曲线的标准方程 (1) 定位：确定双曲线的焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2) 定量：确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 特别地，若已知双曲线上两点的坐标，可直接设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，将两点的坐标分别代入，解方程组 ... ...