3.3　第1课时　抛物线及其标准方程（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

3.3　抛物线 第1课时　抛物线及其标准方程 学习 目标 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，掌握抛物线的标准方程与焦点坐标、准线方程之间的关系． 2．能根据已知条件求抛物线的标准方程，并能运用抛物线的标准方程解决有关问题． 新知初探基础落实 一、 概念表述 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：焦点F不在直线l上，若点F在直线l上，点M的轨迹就变为过点F且垂直于直线l的一条直线． 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　√　) (2) 若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　×　) (3) 若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．(　√　) (4) 抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．(　√　) 典例精讲能力初成 探究1　抛物线的概念及标准方程 例1　(教材P132例1补充)根据下列条件求抛物线的标准方程． (1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； 【解答】　双曲线的方程为－＝1，其左顶点的坐标为(－3，0)，因此抛物线的焦点坐标为(－3，0)．设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p＞0)，则＝3，所以p＝6，因此抛物线的标准方程为y2＝－12x． (2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，且|AF|＝5． 【解答】　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(x0，－3)．由抛物线的定义知5＝|AF|＝．因为(－3)2＝2px0，所以p4－82p2＋81＝0，解得p＝±1或p＝±9，故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x． 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题： (1) 掌握抛物线的开口方向与方程之间的对应关系． (2) 当抛物线的开口方向没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论的情形． (3) 注意p的几何意义． 探究2　抛物线定义的应用 视角1　到焦点与到准线距离的转化 例2－1　(1) 已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A，B满足|AF|＋|BF|＝8，那么线段AB的中点到y轴的距离等于(　B　) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，即x1＋x2＝6，所以线段AB的中点的横坐标为3，从而线段AB的中点到y轴的距离为3． (2) 已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，那么点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为． 【解析】　由抛物线的定义可知抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．如图，点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，连接AF，交抛物线y2＝2x于点P′，则|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|，当A，P，F三点共线，即点P在点P′的位置时取等号，故所求最小值为|AF|＝＝． (例2－1(2)答) 抛物线定义的两种应用： (1) 实现距离转化．由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2) 解决最值问题．往往用抛物线的定义，化折线为直线来解决最值问题． 视角2　抛物线的轨迹问题 例2－2　一圆经过点F(0，3)，且和直线y＋3＝0相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形． 【解答】　设圆的圆心为M(x，y)，于是|MF|＝d，其中d是圆心M到直线y＋3＝0的距离，因此＝|y＋3|，化简得x2＝12y，所以圆心的轨迹方程是x2＝12y，其图形为如图所示的抛物线． (例2－2答) 求轨迹方程的常用方法 (1) 直接法：设曲线上动点的坐标为(x，y)，可根据几何条件直接求x，y间的关系式； (2) 定义法：若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3) 相关 ... ...