第三章 微专题4　椭圆、双曲线的离心率计算（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

微专题4　椭圆、双曲线的离心率计算 典例剖析素养初现 拓展1　直接由离心率的定义求离心率的值 例1　(1) (2025·苏州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，上、下顶点分别为B2，B1，点D在线段B1F上，且|B1D|＝2|DF|．若OD∥AB2，则椭圆C的离心率为(　B　) (例1(1)) A． B． C． D． 【解析】　由题意得B2(0，b)，A(a，0)，F(c，0)，所以＝(a，－b)．因为|B1D|＝2|DF|，所以D为B1F的三等分点，故D，＝．由＝(a，－b)及OD∥AB2，得＝，化简得e＝＝． (2) 设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H．若△FOH的内切圆的半径r＝b，则双曲线C的离心率为(　A　) A． B． C． D． 【解析】　由题意可得|FH|＝b，|OH|＝a，|OF|＝c，所以S△FOH＝ab＝(a＋b＋c)·r＝(a＋b＋c)·b，从而3a－c＝b，两边平方可得9a2－6ac＋c2＝b2＝c2－a2，整理得5a＝3c，故e＝＝． 利用题中条件直接求得a，c的具体值或满足的相等关系，再根据定义求得离心率的值，这是求解离心率的首选方法． 拓展2　由正、余弦定理求离心率的值 例2　(1) 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，直线BF2与椭圆C的另一个交点为A，且满足⊥，则椭圆C的离心率为(　A　) A． B． C． D． 【解析】　如图，|BF1|＝|BF2|＝a，令|AF2|＝m，则|AF1|＝2a－m．因为⊥，所以F1A⊥F1B，从而|AB|2＝|AF1|2＋|BF1|2，即(m＋a)2＝(2a－m)2＋a2，得m＝，于是|AF1|＝，|AB|＝a＋＝．在Rt△AF1B中，cos A＝＝＝．在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A，所以4c2＝＋－2×××＝a2，从而＝，即e＝． (例2(1)答) (2) 已知F为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，A是双曲线E的右顶点，P是双曲线E上一点，且PF⊥PA，∠PFA＝60°，则双曲线E的离心率为2． 【解析】　因为PF⊥PA，∠PFA＝60°，所以点P在双曲线E的左支上．不妨设点P在第二象限，如图，记双曲线E的右焦点为F2，连接PF2，则|PF|＝，|PF2|＝．在△PFF2中，由余弦定理知|PF2|2＝|PF|2＋|FF2|2－2|PF||FF2|·cos ∠PFF2，即＝＋(2c)2－2··2c·，整理得c2－ac－2a2＝0，则e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)． (例2(2)答) 在解答有关离心率的问题时，常常要结合题中涉及到的三角形，利用正余弦定理、勾股定理以及射影定理建立关于a，b，c的相等关系或者不等关系，进而求出离心率的值或取值范围． 拓展3　利用a，b，c的不等关系求离心率的值或范围 例3　(1) 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，上顶点为A，在以点F为圆心、c为半径的圆上存在点M，使得直线AM的斜率为，则椭圆离心率的取值范围是(　A　) A． B． C． D． 【解析】　由题意知AM的方程为y－b＝x，即3x－4y＋4b＝0．因为直线AM与圆F：(x＋c)2＋y2＝c2有公共点，所以圆心F到直线AM的距离d＝≤c，化简得4b－3c≤5c，即b≤2c，从而b2≤4c2，即a2－c2≤4c2，也即a2≤5c2，可得e≥．又0＜e＜1，所以≤e＜1． (2) 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点．若|PF1|＋|PF2|≥4a－2b，则双曲线C的离心率的取值范围为(　B　) A． B． C．[3，＋∞) D．[4，＋∞) 【解析】　不妨设点P在第一象限，则|PF2|≥c－a．又|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＋|PF2|≥4a－2b，所以2|PF2|≥2a－2b，即|PF2|≥a－b，即c－a≥a－b，从而b≥2a－c，两边平方得b2≥4a2－4ac＋c2，即c2－a2≥4a2－4ac＋c2，也即5a2－4ac≤0，于是≥，即双曲线C的离心率的取值范围为． 求离心率的取值范围时，通常要把题中的不等关系或者由题意推出的不等关系进一步化简成关于a，b，c的不等式． 拓展4　 ... ...