第三章 微专题6　定点、定值、定直线问题（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）择性必修 第一册

微专题6　定点、定值、定直线问题 典例剖析素养初现 拓展1　圆锥曲线中的定点问题 视角1　参数法 例1－1　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(0，2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点(A，B不关于x轴对称)，设两直线的斜率为k1，k2，且k1＋k2＝8，试探究直线AB是否过定点． 【解答】　因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，从而a＝2，故椭圆的方程为＋＝1．设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，由已知Δ＞0，且x1＋x2＝－，x1x2＝．由题意知k1＋k2＝＋＝8，所以＋＝8，即2k＋(m－2)＝8，从而k－＝4，整理得m＝k－2，故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，即y＝k－2，因此，直线AB过定点． 一般设直线的方程为y＝kx＋m，通过计算得到k，m之间的关系或求出m的值，从而确定定点的坐标． 视角2　特值法 例1－2　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形． (1) 求椭圆C的方程． 【解答】　由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，可知b＝c．又等腰直角三角形的斜边长为2，即2c＝2，所以a＝c＝，故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2) 过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】　当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋2＝；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1．联立解得若存在定点Q满足题意，则点Q的坐标只可能为(0，1)．以下证明Q(0，1)即为所求．若直线l的斜率不存在，上述已经证明．若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，则Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝．因为＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，所以·＝x1x2＋(y1－1)·(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0，从而⊥，即以AB为直径的圆恒过点Q(0，1)． “特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明． 拓展2　圆锥曲线中的定值问题 例2　已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线所成的锐角为60°，且P(2，3)为双曲线E上一点． (1) 求双曲线E的标准方程； 【解答】　由题意知双曲线在第一、三象限的渐近线的倾斜角为30°或60°，即＝或．当＝时，双曲线E的标准方程为－＝1，将代入，无解．当＝时，双曲线E的标准方程为－＝1，由P(2，3)为双曲线E上一点，得－＝1，解得a2＝1，故双曲线E的标准方程为x2－＝1． (2) 设M为双曲线E在第一象限的任一点，过点M的直线与双曲线E恰有一个公共点，且分别与双曲线E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，求证：△AOB的面积为定值． 【解答】　直线的斜率显然存在，设直线的方程为y＝kx＋t，与x2－＝1联立得(k2－3)x2＋2ktx＋t2＋3＝0．由题意知k≠±，且Δ＝4k2t2－4(k2－3)(t2＋3)＝0，化简得t2－k2＋3＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋t与y＝x联立，解得x1＝；将y＝kx＋t与y＝－x联立，解得x2＝．S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝·2|x1|·2|x2|·sin 120°＝|x1x2|＝．由t2－k2＋3＝0，知S△AOB＝，故△AOB的面积为定值． 求解定值问题的两种常用方法： (1) 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2) 引进变量法：其解题流程为 拓展3　圆锥曲线中的定直线问题 例3　已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过动点P(a，b)(a＜0)作抛物线C的两条切线，切点为A，B，且·＝0，求证：点P在定直线上． 【解答】　由题设知F(0，1)，设过点P(a，b)的切线 ... ...