2.2基本不等式 学习目标 目标是灯塔，指引着我们前进的方向 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0)及其变形的应用.(重点) 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 4.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点) 基础知识 基础是根基，扎实根基会让我们走得更远 1.定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立， 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2.常用变形 变式1： （a＞0，b＞0，当且仅当a=b时，等号成立） 变式2： （当且仅当a=b时，等号成立） 变式3： （当且仅当a=b时，等号成立） 变式4： （x＞0，当且仅当x=1时，等号成立） 变式5： （ab＞0，当且仅当a=b时，等号成立） 3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. 典型例题 典例是阶梯，攀爬中提升解题能力 题型1：概念辨析 【例1-1】(多选)下列说法正确的是 ( ) A.对 a,b∈R,≥成立 B.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 C.对 a,b∈R,a2+b2≥2ab D.若x>2,则x+≥2中可以取等号 答案 BC 解析 A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立; D项,x+≥2=2时取等号的条件为无解,不等式中不可取等号. 反思感悟 利用基本不等式时要注意a>0,b>0和取等号的条件是否满足. 【例1-2】(多选)下面四个推导过程正确的有 ( ) A.若a,b为正实数,则+≥2=2 B.若a∈R,a≠0,则+a≥2=4 C.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2=-2 D.若a<0,b<0,则
a>0,下列不等式中恒成立的是 ( ) A.2a+≥2 B.2a+≤2 C.2a+<2 D.2a+>2 答案 A 解析 由题意b>a>0,所以由基本不等式可得2a+≥2=2, 当且仅当2a=,即a=时等号成立,此时b>a=>0满足题意. 【例1-4】下列结论正确的是 4.( ) A.当x>0且x≠1时,x+的最小值为2 B.当x>0时,+≥2 C.当x≠0时,x+≥2 D.当x>0时,x+的最小值为2 答案 B 解析 选项A不满足“取等号时的条件”,故不正确; 选项C不满足“各项必须为正”,故不正确; 选项D不满足“积为定值”,故不正确. 【例1-5】下列不等式中正确的是 ( ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 答案 D 解析 若a<0,则a+≥4不成立,故A错; 若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错; 若a=4,b=16,则<,故C错; 由基本不等式可知D项正确. 【例1-6】若a,b∈R,下列不等式恒成立的是 ( ) A.a2+>a B.a3+b3≥2 C.a2+b2≥-2ab D.a+b≤2 答案 C 解析 当a=时,有a2+=a,故A错误; 当a=b=-1时,a3+b3=-2,2=2,则a3+b3<2,故B错误;由于a2+b2+2ab=(a+b)2≥0,所以a2+b2≥-2ab,故C正确;若a=1,b=2,可得a+b=3,2=2,则a+b>2,故D错误. 题型2：直接利用基本不等式求最值 【例2-1】已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 证明：因为x，y都是正数，所以. （1）当积等于定值P时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值. 【例2-2】（2024春·陕西榆林）已知，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A. 【例2-3】（2024福建省）已知，则的最小值为 ... ... 