函数的奇偶性知识总结与题型讲义（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的奇偶性 知识点1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 知识点2　函数奇偶性的性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 知识点3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 考点一 对函数奇偶性概念的理解 【例1-1】已知是定义在上的偶函数，那么的值是 . 【解析】依题意得，， 又(奇偶函数的定义域关于原点对称)， ，． 变式1-1：若函数是奇函数，则 ( ) A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】 【例1-2】函数的图象关于 对称． 【解析】要使函数有意义，则，即， 解得或，则定义域关于原点对称． 此时，则函数，(化简函数形式很重要) ， 函数是奇函数，图象关于原点对称 变式1-2：函数的图象关于(　　) ．原点对称 ．轴对称 ．y轴对称 ．直线y＝x对称 【答案】 根据题意，，有， 则有，其图象关于原点对称， 故选：A． 【例1-3】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) 是奇函数 是奇函数 是奇函数 是奇函数 【解析】定义法 选项：设，则为偶函数． 选项：设， 则 关系不定． 选项：设为奇函数． 选项：设为偶函数． 故选. 变式1-3：设函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】 因为， 所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位， 得到函数，该函数的对称中心为， 故函数为奇函数． 故选：． 考点二 函数奇偶性的运用 角度1 已知函数奇偶性，求值问题 【例2-1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求. 【解析】因为为定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以当时， 又因为为定义在上的奇函数， 所以，故选． 【例2-2】若函数是奇函数，为偶函数，则 . 【解析】函数是奇函数， ，即，则 ①， 为偶函数， ，即，则 ②， 由解得． 角度2 判断函数的图像 【例2-3】 函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为关于原点对称，且， (或由均是奇函数，得是偶函数) 即函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除； 又，可排除； 故选：． 变式1：已知函数f(x)的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是(　　) A．f(x) B．f(x)＝2|x|﹣2 C．f(x)＝2|x|﹣x2 D．f(x)＝2|x|﹣|x| 【答案】 C 【解析】由函数图象可知，f(x)为偶函数，故可排除选项A； f(0)＞0，故可排除选项B； 又当x＞0时，函数图象与x轴有两个交点，而方程ex＝x无解，故可排除D． 故选：C． 考点三 函数奇偶性的应用 【例3-1】已知是定义域为的奇函数，时，，则（ ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以， 故选：C 【例3-2】已知，则等于（ ） A．8 B． C． D．10 【答 ... ...