第一章 专项突破练三 裂项相消求和、错位相减求和（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

专项突破练三　裂项相消求和、错位相减求和 题型一 例1　解:(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,等比数列{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1. 依题意有解得或(舍去),故an=n,bn=2n-1. (2)由(1)可得Sn=1+2+…+n=n(n+1),∴=2,∴++…+=2=2=. 变式　解:(1)由题知{an}是等差数列,设其公差为d, ∵a3+a5=20,S5=35, ∴解得故an=3n-2. (2)由(1)知an=3n-2,故bn===, ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn===-,即Tn=-. 题型二 例2　解:设Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2, 所以Sn=(n-1)·2n+1+2. 变式　解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,所以an=2an-1.当n=1时,由S1=a1=2a1-2,得a1=2.由等比数列的定义知,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n,n∈N*. (2)由(1)知cn==,所以Tn=+++…++①,Tn=+++…++②, ①-②,得Tn=+++…+-=-=1--=1-,所以Tn=2-.专项突破练三　裂项相消求和、错位相减求和 1.A　[解析] 由Sn=+++…+,可得Sn=++…++,两式相减可得Sn=+++…+-=-=,所以Sn=.故选A. 2.B　[解析] 由题意得nan=n·2n,Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n①,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1②,①-②,得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,所以Sn=n·2n+1-2n+1+2=(n-1)·2n+1+2.当n=6时,Sn=642,当n=7时,Sn=1538,所以使得Sn<1000成立的正整数n的最大值为6.故选B. 3.D　[解析] 因为an===-,所以数列{an}的前10项和为-+-+-+…+-=-=.故选D. 4.A　[解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,因为an==-,所以Sn=a1+a2+…+an=-+-+…+- =-1.由Sm=-1=9,解得m=99,故选A. 5.B　[解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,则=2n+1,得Sn=2n2+n.当n=1时,a1=3,当n≥2时,=2n2-3n+1,所以an=Sn-=4n-1(n≥2),因为a1=3也满足上式,所以an=4n-1(n∈N*),则=4n+3.可得an+1=4n,+1=4(n+1),所以===-,所以数列的前2023项和为1-+-+…+-=1-=.故选B. 6.D　[解析] 依题意得an==,∴==4,∴数列的前n项和为++…+=4×=4×=,故选D. 7.BC　[解析] 依题意知a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),将以上n个式子相加可得an=1+2+3+…+n=(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=,a5=15,故A错误;因为a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故B正确;因为an-an-1=n(n≥2),所以an+1-an=n+1,故C正确;=2,则+++…+=2×=2×=,故D错误.故选BC. 8.BCD　[解析] 因为S2=a1+a2=4a1,所以a2=3a1,数列{an}的公比q==3,又2a2=a3+(a1+1),所以6a1=a1+(a1+1),所以a1=2,所以an=2×3n-1,A错误;Sn==3n-1,B正确;bn==-,则Tn=++…+=-,C正确;易知y=-在(0,+∞)上单调递增,所以Tn≥T1=,又Tn<,n∈N*,所以Tn的取值在区间内,D正确.故选BCD. 9.10　[解析] 因为an===-,所以Sn=1-+-+…+-=1-=,得n=10. 10.n·2n+1 　[解析] 因为an=(n+1)2n,所以Sn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)2n, 2Sn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)2n+1,两式相减得-Sn=2×21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=2+-(n+1)2n+1=-n·2n+1, 所以Sn=n·2n+1. 11.　[解析] 由题得S10==5(a1+a10)=210,则a1+a10=42,设等差数列{an}的公差为d,则2a1+9d=42,又a8=a1+7d=31,∴a1=3,d=4,则an=4n-1,∴bn==,则{bn}的前n项和Tn=×=×=. 12.18 379　[解析] an=1+2+22+23+…+2n-1==2n-1,所以a1+2a2+…+10a10=1×(2-1)+2×(22-1)+…+10×(210-1)=1×2+2×22+3×23+…+10×210-(1+2+3+…+10).设S=1×2+2×22+3×23+…+10×210,则2S=1×22+2×23+3×24+…+10×211,两式作差得,-S=2+22+23+…+210-10×211=-10×211=-9×211-2, 故S=1×2+2×22+…+10×210=9×211+2.又1+2+3+…+10==55,所以a1+2a2+…+10a10=9 ... ...