第二章 5 简单复合函数的求导法则（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

§5　简单复合函数的求导法则 【课前预习】 知识点 2.y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x)　乘积 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)× 2.解:y=ex+2可以看作由u=x+2及y=eu复合得到的,也可写成y=e2·ex,即看成常数e2与指数函数y=ex的乘积.y=ln(x+2)是由u=x+2(x>-2)与y=ln u经过复合得到的,即y可以通过中间变量u表示成自变量x的函数. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)是,原函数可看作y=u2,u=2x-1的复合函数(也可去除括号,变成二次函数形式,则不是复合函数). (2)是,原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数. (3)是,原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数(也可将原式写成y=103×100x,则不是复合函数). 变式　解:(1)是,原函数可以看作y=ln u,u=的复合函数. (2)是,y==(1-2x可看作y=,u=1-2x的复合函数. 探究点二 例2　解:(1)函数y=e-2x+1可以看作函数y=eu和u=-2x+1的复合函数,由复合函数的求导法则可得y'x=y'u·u'x=(eu)'·(-2x+1)'=eu·(-2)=-2e-2x+1. (2)因为y=cos,所以y'='=-sin. (3)因为y==2(3x+1,所以y'=[2(3x+1]'=-3(3x+1. 变式　解:(1) 因为f(x)=ln=ln(1+2x), 所以f'(x)=×2×=. (2)因为y=(1+cos 2x)3,所以y'=3(1+cos 2x)2·(1+cos 2x)'=3· (-sin 2x)×2=-6×4cos 4x×2sin xcos x=-48sin xcos 5x. (3)因为f(x)=cos 2x·ln x,所以f'(x)=(cos 2x)'·ln x+cos 2x·(ln x)'=-2sin 2x·ln x+. 探究点三 例3　π　[解析] ∵x'(t)=2πcos,∴x'(2)=2πcos=2πcos=π,根据导数的几何意义得小球在t=2 s时的瞬时速度为π cm/s. 例4　A　[解析] 因为f(x)=ln(2x)-,所以f'(x)=+,所以f=ln 1-2=-2,f'=6,则所求切线方程为y-(-2)=6,即y=6x-5,故选A. 变式　(1) -2　[解析] 由题意得y'=-2sin,当x=时,y'=-2,即曲线y=cos在x=处的切线的斜率为-2. (2)解:因为r(V)=,所以r'(V)=·, 所以气球的半径在V=1 L时的瞬时变化率为r'(1)=·=×(dm/L).§5　简单复合函数的求导法则 1.A　[解析] A中函数不可以看成复合函数;B中函数可以看成y=,u=ln x的复合函数;C中函数可以看成y=u4,u=2x+3的复合函数;D中函数可以看成y=sin u,u=-x的复合函数.故选A. 2.C　[解析] f'(x)=·(3x)'=×3=,故f'(3)=,故选C. 3.D　[解析] 因为y=x+e2x,所以y'=1+2e2x,则当x=0时,y=1,y'=3,故曲线y=x+e2x在x=0处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.故选D. 4.A　[解析] 因为f(x)=x2ln(2x),所以f'(x)=2xln(2x)+x,又f'(x0)=x0,所以2x0ln(2x0)=0,因为x0>0,所以ln(2x0)=0,所以x0=.故选A. 5.B　[解析] f(x)=e2x-2xf'(0),则f'(x)=2e2x-2f'(0),所以f'(0)=2-2f'(0),得f'(0)=,所以f'(x)=2e2x-,f'(1)=2e2-.故选B. 6.C　[解析] 由N(t)=N0,得N'(t)=N0×ln 2×,由N'(24)=N0×ln 2×=-8ln 2,解得N0=2×8×24=384,∴N(t)=384×,∴N(96)=384×=384×2-4=24.故选C. 7.AC　[解析] [ln(2x+1)]'=,(e5x-4)'=5e5x-4,()'=··(2x-1)'=,'=2cos.故选AC. 8.AB　[解析] 由题设,y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),∴当x=0时,y'=2,则曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.设直线l的方程为y=2x+b,则=,解得b=6或b=-4,∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.故选AB. 9.-2　[解析] 由题意知f'(x)=2cos 2x-2sin 2x,故f'=2cos-2sin=0-2=-2. 10.-2e　[解析] 因为f'(x)=-2e-2x+3,所以f'(1)=-2e,即所求斜率k=-2e. 11.　[解析] 因为f(x)=f'sin 2x-cos 2x,所以f'(x)=2f'cos 2x+2sin 2x,则f'=2f'cos +2sin =-f'+,即f'=. 12.2x+y+14=0　[解析] 因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,所以f(1)=0,且 x∈R,有f(x-2)=f(2-x)=-f(x),于是得f(x-4)=-f(x-2)=f(x),即f(x)是周期函数,周期为4,则有f(-7)=f(1)=0.对f(x-8)=f(x)两边求导得f'(x-8)·(x-8)'=f'(x),即f'(x-8)=f'(x),于是当x=1时,f'(-7)=f'(1)=-2,则曲线y=f(x)在点(-7,f(-7))处的切线方程为y-0=-2(x+7),即2x ... ...