北京版（2024）八年级数学上册全等三角形的判定 【教学目标】 学生能够理解“完全重合”的直观含义，抽象出全等三角形的的定义。 学生能理解，要证明两个三角形全等，并不需要六对元素（三边三角）都相等，通过探究发现“SSS”“ASA”“SAS”这些更简洁更有效的判断公理和判断定理。 运用全等三角形的判断定理或公理，证明三角形全等，根据三角形全等的对角角相等，对应边相等解决实际问题 【教学重点、难点】 重点：判断两个三角形全等 难点：探究三角形全等的条件 【教学过程 】 知识铺垫 1、在图 12 - 23 中，△ABC 和△MPN 能够完全重合，我们说这两个三角形全等 .“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”. △ABC 全等于△MPN，记作“△ABC≌△MPN”. 当两个三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 2、在图 12 - 24 中，△DEF 是由△ABC 沿 BC 平移得到的，那么△ABC ≌ . 指出对应顶点、对应边和对应角 . 二、探究新知 1、如图:在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗 2、△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗 一个条件可分为：一组边相等和一组角相等 两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等 探究一： 1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。 ①只给一条边： ②只给一个角： 2.给出两个条件： ①一边一内角： ②两内角： ③两边： 问题3： 两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？ 三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等 探究二：已知线段a、b、c， 请画一个△ABC，使它满足：边 AB为 c，边BC为a,边AC为b. 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？ 归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（基本事实） . 简记为：边边边或 SSS 数学语言：如图 12 - 33，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，BC =B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'. 例题1：如图 12 - 34，在△ABC 中，AB = AC，D 为 BC 的中点 . 求证：AD 平分 ∠BAC. 证明：∵ D 为 BC 的中点， ∴ BD = CD . 在△ABD 和△ACD 中， AB = AC， BD = CD， AD = AD， ∴ △ABD ≌△ACD ( SSS ) . ∴ ∠BAD = ∠CAD， 即 AD 平分 ∠BAC. 探究三：已知线段c，角α，角β，如图 12 - 28. 请画一个△ABC，使它满足：边 AB为 c，∠ A 为 α，∠ B 为 β. 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？ 归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 . 简记为：角边角或 ASA 数学语言：如图12-29，在△ABC 和△A′B'C' 中，如果 ∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，BC = B'C'，那么，△ABC ≌ △A'B'C' 例2 ；如图 12 - 30，AC // BD，AB 交 CD 于点 O，且 AC = BD. 求证：△AOC ≌ △BOD. 证明：∵ AC // BD， ∴ ∠A = ∠B，∠C = ∠D. 在△AOC 和△BOD 中， ∠ A = ∠ B， AC = BD， ∠C = ∠ D， ∴ △AOC ≌ △BOD ( ASA ) 探究四：已知线段a，b,角α， 请画一个△ABC，使它满足：边BC为 a，边AC为b,∠ C 为 α 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？ 归纳：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 简记为：边角边或 SAS. 数学语言；如图 12 - 31，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，∠A =∠A'，那么△ABC ≌△A'B'C'. 例3：如图 12 - 32，AC = AD，AB 平分 ∠CAD. 求证：( 1 ) △CAB ≌△DAB；( 2 ) ∠C = ... ...
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