(课件网) 课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 15.1.2.1 线段垂直平分线的 性质与判定 学习目标 学习重点 1.探索并掌握线段垂直平分线的性质与判定定理； 2.能运用线段垂直平分线的性质与判定解决简单的计算与推理问题； 3.理解互逆命题和互逆定理的相关概念. 线段的垂直平分线的性质定理与判定的应用； 互逆命题和互逆定理的相关概念. 2.线段的对称轴是什么 1.线段是轴对称图形吗 3.什么叫作线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 复习引入 活动1 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 数学探究 A P1 l B P2 P3 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 【猜想交流】 A P1 l B P2 P3 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 证明：∵ 直线l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． 又∵AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 【验证证明】 当点P与点C 重合时，显然成立. 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，PC⊥AB， ∴ PA =PB． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． P A B l C 线段垂直平分线的性质 知识归纳 例1 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，△BCE的周长为16，△ABC的周长为24，求AD的长度． 解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EA＝EB，AD＝DB. ∵△BCE的周长为16. ∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16. ∵△ABC的周长为24，∴BC＋AC＋AB＝24. ∴AB＝8.∴AD＝DB＝4. 数学应用 活动2 把上面线段垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？ P A B 数学探究 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢 已知：如图，PA =PB 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作AB⊥PC，垂足为点C 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 P A B C 还有其它的方法吗？ 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 用符号语言表示为： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识归纳 这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合. P A B C l 数学探究 用符号语言表示为： ∵ AB =AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB =MC ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的证明过程. 如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB ∴DE=CE.∠EDO=∠ECO=90° ∴OC=OD. 在Rt△OED 和Rt△OEC中， ∵DE=CE OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴点E在线段CD的垂直平 ... ...
