1.4解直角三角形 【题型1】解直角三角形 2 【题型2】解直角三角形与其他知识的综合 4 【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a2+b2=c2； ③边角之间的关系： sinA==，cosA==，tanA==． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（ ） A．2B．C．D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴sin∠ABC==， 故选：B． 【题型1】解直角三角形 【典型例题】如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，则BC等于( ) A.45 B.5 C.15 D. 【答案】B 【解析】∵sinA＝，∴BC＝AB·sinA＝15×＝5，故选B. 【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos A＝，则AC等于( ) A.18 B.2 C.12 D. 【答案】B 【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝,∵cosA＝，AB＝6，∴AC＝AB＝2，故选B. 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长度为( ) A.2 B.8 C. D. 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∴tanA＝＝＝，∴BC＝2.故选A. 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝8 cm，则AC的长是_____cm. 【答案】2 【解析】∵∠C＝90°，∴sinA＝＝，∵AB＝8 cm，∴BC＝6 cm，∴AC＝2 cm. 【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝_____. 【答案】18 【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sinA＝＝，∴AB＝3×6＝18. 【举一反三5】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，a＝4； (2)a＝－1，b＝-3； (3)∠A＝60°，c＝2＋. 【答案】解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.由tan B＝， 得b＝atan B＝4tan 60°＝4.由cos B＝， 得c＝＝＝8. (2)由tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°， 由sin A＝，得c＝＝＝2－2； (3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，由sinA＝， 得a＝csin A＝(2＋)×＝＋，由cos A＝， 得b＝ccosA＝(2＋)×＝1+. 【举一反三6】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形． 【答案】解：在Rt△ABC中，∵a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴c＝＝2， ∵tanA＝＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 【题型2】解直角三角形与其他知识的综合 【典型例题】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连结DE交对角线AC于F．若AD：CE＝7：3，∠CFD＝2∠BAC，则tan∠ACB＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设AD＝7x，EC＝3x，设DC＝k，∠BAC＝θ， 则∠ACD＝θ，∠CFD＝2θ，∠DAC＝∠ACB＝﹣θ，∠ADE＝∠DEC＝3θ﹣， 则tan∠ACD＝tanθ＝＝，tan∠DEC＝＝， 故tanθ ＝，tan3θ＝， 解得tanθ＝， ∴tan∠ACB＝＝， 故选：D． 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为（ ） A.5sin35° B. C.5cos35° D.5tan35° 【答案】C 【解析】根据题意可得，cosB＝， 则cos35°＝， 可得：BC＝5cos35°． 故选：C． 【举一反三2】如图，小益同学构造一个Rt△ABC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB与AC交于点E，连接BE，如果BC＝4，AC＝8，设∠A＝α，则sin2α＝ ． 【答案】 【解析】∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴BE＝AE， ∴∠A＝∠ABE＝α， ∴∠CEB＝∠ ... ...
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