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课件网) 4.2.2 对数运算法则 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 课堂评价 ◆ 备课素材 【学习目标】 1.理解对数的运算法则； 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数； 3.会运用运算法则进行一些简单的化简与证明. 知识点一 对数的运算法则 （1） _____, （2） _____, （3） _____. 其中，且,,, . 知识点二 对数换底公式 1.，其中且，，且 ，这一结果通常被称 为换底公式. 2.对数换底公式的重要推论： （1）且，且 ； （2）且， ； （3），，，且 ， ， . 【诊断分析】 （1）若，则 ____. [解析] . （2）若，，则 __. [解析] . 探究点一 对数的运算法则 例1 用,, 表示下列各式： （1） ; 解： . （2） ; 解： . （3） ; 解： . （4） . 解： . 变式 用，， 表示下列各式： （1） ； 解: . （2） ； 解: . （3） . 解: . ［素养小结］ 正确应用计算公式是解决这类问题的关键，尤其不要混淆对数的加减运算和乘 除运算. 探究点二 对数运算法则的应用 例2（1） 计算： . 解:原式 . （2）计算： 解:原式 . 变式 计算下列各式的值： （1） ； 解：方法一：原式 . 方法二：原式 . （2） . 解：原式 . ［素养小结］ （1）对数运算法则的作用: ①利用对数的运算法则,可以将真数的积、商、幂的运算转化为对数的和、差、 倍数运算,反之亦然. ②通过对对数运算法则的灵活运用,能起到降幂、去分母、去根号的作用. （2）运用对数的运算法则时要注意的问题: ①注意正用、逆用三条法则. ②在进行对数运算时,要判断能否使用运算法则. ③不要将“积商幂的对数”和“对数的积商幂”混淆. 拓展 已知，求 的值. 解:,, ,在等式两边取常用 对数得，由对数的运算性质可得，即 , 或 . 探究点三 换底公式的应用 例3（1） [2024·陕西咸阳高一期末]若,，则 的值约为 ( ) A A.1.322 B.1.410 C.1.507 D.1.669 [解析] 因为, ，所以 .故选A. （2）[2024·广东佛山高一期末] 记 ，则 ___. 1 [解析] （3）计算下列各式的值： ① ； 解:原式 . ② . 解:原式 . 变式（1） 计算： ( ) A A. B. C.1 D.2 [解析] 原式 . （2）计算： __. [解析] . （3）已知，，则可以用， 表示为_____. [解析] 由，得 ，则 . ［素养小结］ （1）利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底 的对数,可用对数的运算法则来解决对数求值问题,同时要注意换底公式的逆用. （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式. 探究点四 对数的实际应用 例4 地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标 准.震级 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对 数来表示的.里氏震级的计算公式为，其中 是被测地震的最大 振幅， 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震 中的距离造成的偏差）.根据该公式可知， 级地震的最大振幅是6级地震的最 大振幅的____倍.（精确到1） 32 [解析] 由题意可得,即,所以 .当 时，级地震的最大振幅；当 时，6级地震的最大 振幅.所以 . 变式 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为 期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球. 在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是指将宇航员 的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理后循环使用.净化水 的过程中，每增加一次过滤可减少水中 的杂质，要使水中杂质减少到原来 的以下，则至少需要过滤的次数为（参考数据： ）( ) C A.10 B.12 C.14 D.16 [解析] 设过滤的次数为，原来的水中杂质为1，则 ， 即，所以，所以 ，所以 .因为，所以 的最小值为14，则 ... ...
