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课件网) 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 探究点一 测量距离问题 探究点二 测量高度问题 探究点三 测量角度问题 【学习目标】 1.结合实例,理解测量不便到达的两点之间的距离的方案,掌握正、 余弦定理在测量高度方面的应用； 2.掌握数学建模的应用,理解正、余弦定理在测量距离与角度等 方面的应用，通过实际问题的解决，培养数学建模素养，提升数学 抽象素养和数学运算素养. 知识点一 测量距离问题 测量距离的基本类型及求解的方法 类型 两点都可从另一 点到达 两点中一点不 可到达 两点都不可到达 图形 _____ _____ _____ 方法 余弦定理 正弦定理 先用正弦定理,再用余弦 定理 知识点二 与测量有关的角的概念 术语 定义 图形说明 仰角与 俯角 在同一铅垂面内,视线与水平线所成的 角中,_____的角叫仰角, _____的角叫俯角 _____ 方向角 _____ 视线在水平线上方 视线在水平线下方 小于或等于 的角 南偏东 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个不可到达的点之间的距离无法求得.( ) × [解析] 两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个 点来量出相应的角度和距离求得. （2）小强站在地面上观测一座建在山顶上的建筑物,测得其视角 （建筑物的上、下两端）为 ,同时测得该建筑物顶部的仰角为 , 则小强观测山顶的仰角为 .( ) √ [解析] 如图所示,设小强观测山顶的仰角为 ,则 ,因此 . （3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 .( ) × [解析] 俯角是铅垂面内视线在水平线下方时视线与水平线所成的角. 知识点三 测量高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 _____ 类型 简图 计算方法 底部不 可达 _____ 续表 类型 简图 计算方法 底部不 可达 _____ 续表 探究点一 测量距离问题 例1 [2024·辽宁大连八中高一期末] 如图，为了测量 河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点， ， 测得 ， ， ， ，.若，，， 在同一 平面内，试求， 两点之间的距离.（结果保留根号） 解：在中， ， ， 则 ，由正弦定理得 . 在中， ， ， 则 . 在 中，由余弦定理得 ，所以 . 故，两点之间的距离为 . 变式 如图，观测站在目标的南偏西 方向， 经过处有一条南偏东 走向的公路，在 处观 测到与相距的 处有一人正沿此公路 向处行走，走到达处，此时测得， 之 间的距离为，求， 两点间的距离． 解：在中， ， ，， 由余弦定理得 ， 又 ，所以 ，所以 . 在中， ，则 ， 因 ， 所以由 ，得 ， 所以，两点间的距离为 . ［素养小结］ 三角形中与距离有关的问题的求解策略 （1）解决三角形中与距离有关的问题：若在一个三角形中,则直接利 用正、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择 适当的三角形,再利用正、余弦定理求解. （2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的 边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、 余弦定理来解决. 探究点二 测量高度问题 ［探索］ 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件 解：选取地面上与物体底部在同一水平面上的两点,测量选取的两点 间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角. 例2 如图所示，,, 三点在同一水平线上，是 塔的中轴线，在, 两处测得塔顶部处的仰角 分别是 ， ，且 ， ，如果 , 之间的距离是，测角仪 ， 则塔高为（精确到 ）( ) A. B. C. D. √ [解析] ，， ， ， ， .故选A. 变式 [2023·安徽皖北高一期末] 如图所示，在 山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角为 ， 在塔底处测得的俯角为 ，已知铁塔 部 分的高为，求山高 . 解：由题得 ，， ， . 在中，由正弦定理得 ，即 ， 所以. 在 中， . ［素养小结］ 测量高度的两类 ... ...
