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课件网) 10.2.2 复数的乘法与除法 探究点一 复数的乘法运算 探究点二 复数的除法运算 探究点三 实系数一元二次方程在复数范 围内的解集 【学习目标】 1.掌握复数代数表示式的乘法运算法则及交换律、结合律和乘法 对加法的分配律; 2.掌握复数代数表示式的除法运算法则； 3.通过复数的乘、除法运算，培养逻辑推理素养，提升数学运算 素养. 知识点一 复数的乘法法则及运算律 1.复数积的定义 一般地,设,,称或 为 与的积,并规定 _____. 2.复数的乘法运算满足的运算律 对任意复数,, ,有 交换律 结合律 _____ 乘法对加法的分配律 _____ 3.复数乘法运算的性质： （1）, ; （2）个相同的复数相乘时,仍称为的次方（或 次幂）,并记作 ； （3）当,均为正整数时,; ， ; （4）， . 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）设为复数，则 .( ) √ [解析] 设,则 . （2）若，则 是实数.( ) √ [解析] 设，则， ， ，为实数. （3） .( ) × [解析] 设 , 则 . 2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同 解：复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但复数的乘法中必须在所 得结果中把换成 . 知识点二 复数的除法 1.复数商的定义：如果复数,则满足的复数称为 除 以的商,并记作(或,其中称为被除数, 称为除数. 2.复数除法的运算性质：当为非零复数时，有 , . 3.复数的倒数：一般地，给定复数,称为的倒数.除以 的商 也可以看成与 的倒数之积. 4.求两个复数的商的方法：_____. 5.规定：当为非零复数且是正整数时，___， ___. 分母实数化 1 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两个非零复数的商仍然是复数.( ) √ （2）计算两个复数的商时，最终结果的分母可以为虚数.( ) × （3）已知复数, 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 是纯虚数.( ) × [解析] 设,则 , ，当时， 不是纯虚数. 2.复数的除法与实数的除法有何不同 解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复 数,一般不能直接约分化简. 由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,两个复数相除时,可以先把 它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数 （注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可. 知识点三 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1.实系数一元二次方程的定义：当,,都是实数且时,关于 的 方程 称为实系数一元二次方程. 2.实系数一元二次方程 在复数范围内总是有解的， 而且 （1）当 时,方程有两个不相等的实数根； （2）当 时,方程有两个相等的实数根； （3）当 时,方程有两个互为共轭的虚数根. 3.如果,是实系数一元二次方程 的解,那么 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）一元二次方程 在复数范围内有两个相等的实数 根.( ) √ [解析] ，所以该方程有两个相等的实数根. （2）在复数范围内，一元二次方程 没有根.( ) × [解析] ，所以一元二次方程 在复数范围内有两个互为共轭复数的虚数根. （3）方程在复数范围内的解为1, 为虚数单位).( ) √ 探究点一 复数的乘法运算 例1 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 变式（1） [2024·湖南岳阳一中高一月考]已知,， 为虚数单位， 若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得, ， 则 .故选A. √ （2）计算： . 解： . ［素养小结］ 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式 进行简便运算,常用公式： （1） . （2） . （3） . 拓展（1） 已知,为虚数单位)，则 ( ) A. B.1 C. D.3 [解析] ,则 .故选C. √ （2）已知复数 的实部与虚部的和为12， 则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ，因为复数 的实部 与虚部的和为12，所 ... ...
