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课件网) 10.3 复数的三角形式及其运算 探究点一 复数三角形式的有关概念 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化 探究点三 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 探究点四 复数除法运算的三角表示 【学习目标】 1.了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的 关系,了解辐角、辐角主值的概念，通过复数的代数形式与三角形式 的互化，提升数学运算素养; 2.了解复数三角形式的乘法法则、除法法则及其几何意义，通过 复数的几何意义，了解复数的三角形式，培养逻辑推理素养，提升 数学抽象素养; 3.从向量的角度理解复数三角形式的乘、除、乘方运算及几何意 义，培养逻辑推理素养，提升数学运算素养. 知识点一 复数的三角形式 1.复数的三角形式：一般地，如果非零复数 在复平面内对应点,且 为 向量的模, 是以轴正半轴为始边、射线 为 终边的一个角,则 ,根据任意角余 弦、正弦的定义可知,.因此_____, _____,如 图所示，从而_____ _____， 上式的右边称为非零复数的三角形式（对应地, 称为复 数的代数形式）,其中的 称为 的辐角. 2.辐角主值：在_____内的辐角称为 的辐角主值,记作_____. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）复数的任意两个辐角之间都相差 的整数倍.( ) × [解析] 复数0的辐角为任意值，0的任意两个辐角之间不一定都相差 的整数倍. （2） .( ) √ （3） .( ) √ （4） 是复数的三角形式．( ) × [解析] 中， ，所以 不是复数的三角形式，故错误. 知识点二 复数三角形式的乘法及其几何意义 1.乘法法则：设, ,则 _____ _____. 文字语言：两个复数,相乘，的模乘以的模等于的模, 的辐角与的辐角之和是 的辐角. 2.两个复数相乘的几何意义：设, 对应的向 量分别为,,将 绕原点旋转___,再将 的模变为原来的___倍,如果所得向量为 , 则对应的复数即为 ，如图所示. 3.若,则 . 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各 复数的辐角的积.( ) × [解析] 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于 各复数的辐角的和. （2）一个复数与 相乘，其几何意义是把这个复数对应的向量绕原 点沿逆时针方向旋转 .( ) √ （3） .( ) × [解析] . 知识点三 复数三角形式的除法及其几何意义 1.一般地，如果非零复数,那么 是 的一个辐 角,因此 ,而且 ,所以 ,即 . 2.除法法则：如果 , ,那么 _____. 文字语言：两个复数,相除，的模除以的模等于 的 模,的辐角减去的辐角是 的辐角. 3.两个复数相除的几何意义：设, 对应的向 量分别为,,把 绕原点沿顺时针方向旋 转___（,如果,就要把 绕原点沿 逆时针方向旋转_____）,再把 的模变为原来 的___,如果所得向量为,则 对应的复数即为 ，如图. 【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若, ,则 .( ) √ （2）若,,则 的辐角主值 是 .( ) √ [解析] 的辐角为，又辐角主值的范围为， 所以 的辐角主值是 . （3）若复数的辐角为，则的辐角主值为 .( ) √ [解析] ,所以的辐角为, 所以 的辐角主值为 . 探究点一 复数三角形式的有关概念 例1（1） 复数 的一个辐角是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 为复数的三角形式， 所以 的一个辐角是 .故选A. √ （2）复数 的辐角主值是_____． [解析] 由， ， 得， 所以复数 的辐角主值是 . 变式 [2024·福建泉州高一期中] 复数 的辐角主值 为( ) A. B. C. D. [解析] ， 因为，所以的辐角主值为 .故选C. √ ［素养小结］ 1.判断复数的三角形式与求解复数的辐角主值时要弄清复数的三角形 式的定义.对于不是以复数的三角形式表示的 ... ...
