2025年初中数学二次函数与几何综合专题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年初中数学二次函数与几何综合专题 一．二次函数面积最值和平行四边形存在问题 1．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． 3．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP，PC，BC，当四边形APCB的面积最大时，求点P的坐标． （3）点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，连接PB、BC、PC，设△PBC的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，当△PBC的面积最大时，过P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．点F（1，0），连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 二．二次函数直角三角形存在问题 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． （1）求抛物线的解析式． （2）点P是抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，连接BC，EC，是否存在点P，使△BEC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 7．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点P的坐标为时，求△PAC的面积． （3）如图2，连接BC，当△PBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 8．如图1，抛物线交x轴于A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点M为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图2，当点M是抛物线的顶点时，连接AM、CM、BC，求四边形ABCM的面积； ②如图3，是否存在点M，使△BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴相交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BC的上方，试求△PBC面积的最 ... ...