3.2.2双曲线及其简单几何性质（直线与双曲线弦长、中点）同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线及其简单几何性质第4、5课时--直线与双曲线弦长、中点同步练习、解答、细目表 一、单选题 1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 A．条 B．条 C．条 D．条 3．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的渐近线与圆相切 D． 6．已知双曲线，分别是其左、右焦点，以下说法正确的是（ ） A．双曲线C的渐近线方程为 B．过焦点且与x轴垂直的弦长为 C．若在双曲线C的左支上存在一点P，满足，则 D．若P是双曲线C上一点，且，则的面积为4 7．关于双曲线有下列四个说法，正确的是（ ） A．P为双曲线上一点，，分别为左 右焦点，若，此时 B．与椭圆有相同的焦点 C．与双曲线有相同的渐近线 D．过右焦点的弦长最小值为4 三、填空题 8．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于 . 9．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 10．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 四、解答题 11．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 3.2.2双曲线及其简单几何性质第4、5课时--直线与双曲线弦长、中点同步练习、解答、细目表 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B B ACD AD ABC 1．B 【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设 ，则，，所以 ＝3. 故选：B. 2．C 【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论. 【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，； 双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C 【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题. 3．B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故.故选：B. 4．B 【分析】求出直线的方程，从而可求得点的坐标，从而可求得，再利用等面积法即可求得内切圆的半径.，即可得解. 【详解】解：设，由题意知，直线的斜率为， 则直线的方程为，∴，化简整理得， 即，∴或（舍去）， 则，即，∴，， 设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，， 则由，得， ∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径） 故的内切圆的面积为．故选：B． 5．ACD 【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确. 【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 曲线的离心率，所以B不正确； 由圆，可得圆心为， 可得圆心到曲线的渐近线的距离， 又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确； 联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD． 6．AD 【分析】利用双曲线的 ... ...