解分式不等式、高次不等式、绝对值不等式讲义（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学精选专题-不等式 解分式不等式、高次不等式、绝对值不等式 一、解分式不等式———转化 方法技巧： （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次（或高次）不等式或一元一次（或高次）不等式组求解，但要注意分母不为零． （2）对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 解法一：移项，通分，转化成整式不等式． ，， 或，或． 解法二：分类讨论，转化成多个整式不等式组． 或． 例1．解下列关于的不等式． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 二、解高次不等式———穿根引线法 解题步骤： 1．化成标准形式：不等式右边为0，左边多项式最高次系数为正数． 2．将左边多项式因式分解，并把各因式按零点从小到大排列． 3．在数轴上标出各零点． 4．从数轴右上方开始，经过各零点，按“奇穿偶不穿”的原则画一条线，即为不等式右边多项式的正负示意图． 5．写出不等式的解集． 例2．解下列关于的不等式． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 例3．已知集合，且，，则实数的取值范围是_____． 例4．对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 例5．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解绝对值不等式———去绝对值 预备知识： 1．． 2．数轴上，实数0，，分别对应点，，，则，． 解绝对值不等式的方法： 1．直接去绝对值． 已知，则； 或． 2．分段去绝对值． 3．平方去绝对值． 拓展： 1．． 2．或． 1．或． 2．或或． 类比： 1．． 2．或． 例4．解下列关于的不等式． 1． 2． 3． 4． 5． 6．高中数学精选专题-不等式 解分式不等式、高次不等式、绝对值不等式 一、解分式不等式———转化 方法技巧： （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次（或高次）不等式或一元一次（或高次）不等式组求解，但要注意分母不为零． （2）对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 解法一：移项，通分，转化成整式不等式． ，， 或，或． 解法二：分类讨论，转化成多个整式不等式组． 或． 例1．解下列关于的不等式． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 【答案】1． 2． 3． 4． 5． 6． 二、解高次不等式———穿根引线法 解题步骤： 1．化成标准形式：不等式右边为0，左边多项式最高次系数为正数． 2．将左边多项式因式分解，并把各因式按零点从小到大排列． 3．在数轴上标出各零点． 4．从数轴右上方开始，经过各零点，按“奇穿偶不穿”的原则画一条线，即为不等式右边多项式的正负示意图． 5．写出不等式的解集． 例2．解下列关于的不等式． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 【答案】1． 2． 3． 4． 5． 解： 或 或 或或 ∴不等式的解集为． 6． 7． 解：． 8． 解：． 9． 解：． 例3．已知集合，且，，则实数的取值范围是_____． 【答案】 解法一：． ∵，∴，∴或． ∵，∴，∴， 综上所述，实数的取值范围是． 解法二：∵，∴，∴或． ∵，∴或，∴， 综上所述，实数的取值范围是． 例4．对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【要点】一元二次方程的根的分布＋高次函数穿根法＋基本不等式 【详解】设，则，， 设，则， ， 依题意，，即， ∴，， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴的最小值为．故选A． 例5．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【要点】一元二次方程的根的分布＋高次函数穿根法＋分类讨论 【分析】根据判别式进行分类讨论，结合一元二次方程的根的分布、高次函数穿根法． 【详解】设，则， ... ...