4.3　第3课时　等比数列前n项和公式及性质（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第四章 数列 4.3　等比数列 第3课时　等比数列前n项和公式及性质 学习 目标 1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式． 2. 掌握等比数列的前n项和的性质． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 _____ _____ 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，则数列{an}是等比数列． (　　) (2) 所有的等比数列，都可以利用公式求前n项和Sn. (　　) (3) 若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B＝0. (　　) × √ √ × × 典例精讲 能力初成 　　　　　(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1) 若an＝3×2n，求S6； 等比数列前n项和的基本运算 【解答】 探究 1 1－1 【解答】 　　　　　(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： 1－1 (3) 若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 【解答】 　　　　　(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： 1－1 (1) 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量：a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”). (2) 运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论． 　　　　若等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，则S5＝_____． 【解析】 变式 211 　　　　(教材P36例8补充)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＋S4＝S6，求公比q. 【解答】 ①若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意； 1－2 【解析】 变式 　　　(1) 在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝_____． 2 等比数列前n项和的性质 【解析】 因为数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，所以S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7，91－S4构成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)·(1＋q2)＝S2(1＋q2)>0，所以S4＝28. 探究 2 28 (2) 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____． 【解析】 2 (1) 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n).特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． 　　　　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于 (　　) A. 5　　　 B. 10 C. 15　　　 D. －20 【解析】 变式 C 随堂内化 及时评价 【解析】 C 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，解得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 2. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于 (　　) A. 16　　 B. 8 C. 4　　 D. 2 C 【解析】 C 【解析】 4. (多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则 (　　) A. S8＝729　 B. S8＝820 C. q＝3　 D. q＝9 BC 【解析】 5. (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若8S6＝7S3，则{an}的公比为_____． 配套新练案 【解析】 B 【解析】 由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. C 【解析】 A 4. 已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项和 ... ...