4.3　第4课时　等比数列前n项和公式的应用（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第四章 数列 4.3　等比数列 第4课时　等比数列前n项和公式的应用 学习 目标 1. 理解等比数列前n项和的结构特征，能利用等比数列的前n项和解决简单的实际问题． 2. 掌握利用分组转化法求数列的前n项和． 典例精讲 能力初成 　　　已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，则a＝_____． 1 等比数列前n项和的结构特征 【解析】 方法一：因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n＋a，所以a1＝6＋a，an＝Sn－Sn－1＝3×2n＋a－(3×2n-1＋a)＝3×2n-1(n≥2)，6＋a＝3，a＝－3. 探究 1 －3 　　　　若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n+1－2k，则实数k＝_____． 【解析】 变式 　　　设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1) 求{an}的通项公式； 2 等差数列、等比数列的综合 【解答】 设q(q＞0)为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以{an}的通项公式为an＝2·2n-1＝2n. 探究 2 (2) 设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn. 【解答】 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 　　　　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列． (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 在等差数列{an}中，a1＝2，设公差为d，由a2，a3＋2，a8构成等比数列，可得a2a8＝(a3＋2)2，即有(2＋d)(2＋7d)＝(4＋2d)2，解得d＝±2.因为当d＝－2时，a2＝0，不满足题意，舍去，所以d＝2，an＝2＋2(n－1)＝2n. 变式 (2) 令bn＝2an＋2，记Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn≥10 000，求正整数n的最小值． 【解答】 　　　　在等差数列{an}中，a1＝2，且a2，a3＋2，a8构成等比数列． 变式 (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； 【解答】 3 　　　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 【解答】 3 　　　(教材P38例10)如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去． 　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1) 求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； 【解答】 变式 【解答】 　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． 变式 (3) 求S10＝a1＋a2＋a3＋…＋a10的值． 【解答】 　　　　(教材P39例12补充)为响应“绿水青山就是金山银山”，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． 变式 随堂内化 及时评价 【解析】 因为等 ... ...