第四章 微专题1　由递推公式求数列通项的方法（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

微专题1　由递推公式求数列通项的方法 典例剖析素养初现 探究1　利用an＝Sn－Sn－1求通项 例1　(1) 已知正项数列的前n项和为Sn，且an＝1－2Sn(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____. (2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－2Sn＝Sn－2Sn－1(n≥2)，a1＝2，a2＝4，则数列{an}的通项公式为_____． (3) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足＋＋…＋＝1－，则数列{an}的通项公式为_____． (1) 利用an＝求通项时，要注意检验n＝1时的情况； (2) 已知数列的前n项和Sn的相关条件，求数列通项公式的基本思路有两个：①将和Sn转化为项an，即利用an＝Sn－Sn－1将和转化为项；②将条件看作是数列{Sn}的递推公式，先求出Sn，然后题目即转化为已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式an. 探究2　叠加法、叠乘法求通项 例2　(1) 在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln ，则数列的通项公式为_____． (2) 已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____． (1) 对于递推关系式可转化为an＋1－an＝f(n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式； (2) 对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}的前n项积时，通常采用累乘法求其通项公式． 探究3　构造法求通项 例3　(1) (2025·开封期末)已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝2an－1，则这个数列中的项有(　　) A. 191　 B. 193 C. 1 023　 D. 1 025 (2) (2025·邯郸期末)已知数列{an}满足a1＝3，当n≥2时，an－3an－1＝3n，则数列{an}的通项公式为an＝_____． (3) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____． (4) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则an＝_____． (1) 形如an＋1＝can＋d(c≠0，c≠1，a1＝a)，等式两边同时加上； (2) 形如an＋1＝pan＋qn(其中q是常数，且n≠0，1)，先两边同时除以qn； (3) 形如an＋1＝pan＋kn＋b(其中k，b是常数，且k≠0)，用待定系数法； (4) 形如an＋2＝pan＋1＋qan(其中p，q均为常数)，用待定系数法构造{an＋1＋λan}； (5) 形如 an＋1＝，先取倒数，再构造． 随堂内化及时评价 1. 若数列{an}满足a1＝1，＝，则a20＝_____. 2. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足2＝an＋1(n＝1，2，3，…)，则{an}的通项公式为_____． 3. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝_____． 4. 已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝_____． 配套新练案 一、 单项选择题 1. 在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n>1)，则a100等于(　　) A. 5　 B. － C. 　 D. － 2. 若数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A. 15　　 B. 255 C. 16　　 D. 63 3. 若数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝1－，则an等于(　　) A. 1－　 B. C. 　 D. 4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n－1，则a1＋a2＋…＋a9等于(　　) A. 958　　 B. 967 C. 977　　 D. 997 二、 多项选择题 5. 设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，则下列说法正确的有(　　) A. 数列{an}的前n项和为Sn＝ B. 数列为递增数列 C. 数列{an}的通项公式为an＝－ D. 数列{an}的最大项为a1 6. (2025·厦门期末)若数列满足a1＝1，an＋1＝qan＋1，则(　　) A. 当q＝2时，a3＝7 B. 当q＝2时，an＝2n－1 C. 当q＝－1时，a2 005＝0 D. 当q＝－1时，a1＋a2＋…＋a10＝5 三、 填空题 7. 在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_____． 8. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝_____． 四、 解答题 9. 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋2＋3an＝4an＋1，设bn＝an＋1－an，n∈N*. (1) ... ...