5.2　第3课时　简单复合函数的导数（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2　导数的运算 第3课时　简单复合函数的导数 学习 目标 1. 了解复合函数概念及其复合过程． 2. 掌握复合函数的求导法则． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 1. 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____． 2. 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_____，即y对x的导数等于_____． y＝f(g(x)) y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 × × √ × 典例精讲 能力初成 　　　　　(教材P79例6补充)求下列函数的导数： 简单复合函数的导数 【解答】 探究 1 1－1 (2) y＝e2x+1； 【解答】 设y＝eu，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·2＝2e2x+1. (3) y＝ln (3x－1)； 【解答】 【解答】 　　　　　(教材P79例6补充)求下列函数的导数： 1－1 (1) 求复合函数的导数的步骤： ①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代． (2) 求复合函数的导数的注意点： ①内、外层函数通常为基本初等函数；②求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点；③逐层求导结束后，对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁． 　　　　求下列函数的导数： (1) y＝(x2＋2x－1)e2-x； 【解答】 y′＝(x2＋2x－1)′e2-x＋(x2＋2x－1)(e2-x)′＝(2x＋2)e2-x＋(x2＋2x－1)(－e2-x)＝(－x2＋3)e2-x. 变式 (2) y＝2x sin (2x＋5)； 【解答】 y′＝(2x)′sin (2x＋5)＋2x[sin (2x＋5)]′＝2sin (2x＋5)＋4x cos (2x＋5). 【解答】 　　　　求下列函数的导数： 变式 　　　　(1) 曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为 (　　) A. y＝2x B. y＝2x＋1 C. y＝3x D. y＝3x＋1 【解析】 因为f(x)＝x＋e2x，所以f′(x)＝1＋2e2x，所以f′(0)＝1＋2＝3.又因为f(0)＝1，所以曲线f(x)＝x＋e2x在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1. D 1－2 (2) 求曲线f(x)＝(2x－2)3在点(2，8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积． 【解答】 2 复合函数导数的实际应用 【解答】 探究 2 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式从外层开始由外到内逐层求导． 随堂内化 及时评价 【解析】 C 【解析】 D 【解析】 B 【解析】 【解析】 【答案】ABD 配套新练案 一、 单项选择题 1. 函数y＝cos (2x＋1)的导数是 (　　) A. y′＝sin (2x＋1) B. y′＝－2x sin (2x＋1) C. y′＝－2sin (2x＋1) D. y′＝2x sin (2x＋1) C 【解析】 y′＝－sin (2x＋1)(2x＋1)′＝－2sin (2x＋1). 【解析】 B 【解析】 【答案】D 【解析】 A 【解析】 【答案】AC 【解析】 ACD 三、 填空题 7. 若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝___，f′(2)＝_____． 【解析】 3 8. 若质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为_____m/s. 【解析】 因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s′(t)＝2(2t＋1)·2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s). 20 【解析】 2x＋3y－π＝0 四、 解答题 10. 求下列函数的导数： (1) f(x)＝(3x2＋1)(2－x)； 【解答】 f′(x)＝6x(2－x)＋(3x2＋1)×(－1)＝－9x2＋12x－1. (2) f(x)＝x2ln (2x)； 【解答】 (3) f(x)＝ln (2x－1)3. 【解答】 11. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ax的 ... ...