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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 第2课时 函数单调性的应用 学习 目标 1. 能利用函数单调性比较大小及解不等式． 2. 能对含参数的函数讨论单调性，利用单调性求参数范围． 典例精讲 能力初成 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性. 1 含参函数的单调性 【解答】 ①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 探究 1 研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)； (3) 分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； (4) 在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间． (2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性． 【解答】 变式 若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围. 2 利用单调性求参数范围 【解答】 探究 2 已知单调性求参数范围的常用方法： (1) 子区间法，即先求出y＝f(x)的单调区间A，然后分析已知区间和A的关系．注意区间端点值能否取到. (2) 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取等号时是否满足题意. (1) 若函数f(x)＝ax－ln x在(0，2)上不单调，则a的取值范围是_____． 【解析】 变式 (2) 若函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x(a∈R)存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_____. 【解析】 (0，＋∞) 已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f′(x)<－1，则f(x)>1－x的解集为 ( ) A. (－∞，2) B. (2，＋∞) C. (－1，1) D. (1，＋∞) 3 利用单调性解不等式 【解析】 令g(x)＝f(x)＋x, 因为对任意x∈R，f′(x)<－1, 所以g′(x)＝f′(x)＋1<0，即g(x)在R上单调递减．又因为f(2)＝－1，所以g(2)＝f(2)＋2＝1.由f(x)>1－x，可得f(x)＋x>1，即g(x)>g(2), 所以x<2，即不等式f(x)>1－x的解集为(－∞，2). A 探究 3 与导函数f′(x)相关的不等关系，往往需要根据求导法则的结构特点构造新函数g(x)，将条件中的不等式转化为g′(x)的正负情况，进而借助g(x)单调性解决相关问题． 【解析】 变式 (－∞，－1)∪(0，1) 随堂内化 及时评价 【解析】 因为f(x)＝x3＋ax＋b，所以f′(x)＝3x2＋a.因为f(x)在(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以f′(1)＝3＋a＝0，所以a＝－3，b∈R. 1. 若函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，则 ( ) A. a＝1，b＝1 B. a＝1，b∈R C. a＝－3，b＝3 D. a＝－3，b∈R D 【解析】 D 【解析】 C 【解析】 ABC 【解析】 设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数y＝g(x)在R上单调递增．又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，所以要使f(x)>2x＋4，只需g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，解得x＞－1. 5. 已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，若对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为 ( ) A. (－1，1) B. (－1，＋∞) C. (－∞，－1) D. (－∞，＋∞) B 配套新练案 一、 单项选择题 1. 已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为 ( ) A 【解析】 【解析】 C 3. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是 ( ) A. [－1，＋∞) B. (－∞，－1] C. (－∞，－2] D. [－2，＋∞) C 【解析】 4. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－1)＝2 024，且对任意的x∈R，都有f′(x)－ ... ...
