5.3　第3课时　函数的极值（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 第3课时　函数的极值 学习 目标 1. 了解极值概念并理解极值是函数的局部概念． 2. 会求函数的极值，能通过极值求参数． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 1. 极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝____，而且在点x＝a附近的左侧_____，右侧_____，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值． 2. 极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝____，而且在点x＝b附近的左侧_____，右侧_____，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，_____叫做函数y＝f(x)的极大值． 3. 极小值点、极大值点统称为_____；极小值和极大值统称为_____． 0 f′(x)＜0 f′(x)＞0 f(a) 0 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f(b) 极值点 极值 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 一个函数的极大值点与极小值点都可能不唯一． (　　) (2) 一个函数的极大值点一定大于极小值． (　　) (3) 函数的极值点一定是导数等于零的点． (　　) (4) 导数为零的点一定是函数的极值点． (　　) (5) 一个函数在某个闭区间的端点处可能取极值． (　　) √ × √ × × 典例精讲 能力初成 　　　　已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 (　　) A. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(1) B. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(－2) D. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 1 根据函数图象判断函数极值 【解析】 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． D 探究 1 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1) 由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2) 由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 变式 从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故A正确．当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故B正确．当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1，0)上单调递减，故C错误；当x∈(0，1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；而在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确． 【答案】ABD 【解析】 　　　　(教材P91例5补充)求下列函数的极值： (1) f(x)＝x3－12x； 2 求函数的极值 【解答】 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 探究 2 x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16. 【解答】 　　　　(教材P91例5补充)求下列函数的极值： 2 求可导函数f(x)的极值的步骤： (1) 确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2) 求方程f′(x)＝0的根； (3) 列表； (4) 利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【解答】 又ex>0，由f′(x)＝0，得x＝－1或x ... ...