5.3　第4课时　函数的最大(小)值（课件 讲义）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 第4课时　函数的最大(小)值 学习 目标 1. 能通过研究函数单调性求函数的最值，体会导数在求最值中的应用． 2. 通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，对变量数学的思想方法有新的感悟． 新知初探 基础落实 一、 概念表述 1. 对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得_____，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得_____，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 2. 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_____，那么它必有最大值和最小值． f(x0)≤f(x) f(x0)≥f(x) 连续不断的曲线 二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 函数的最大值和最小值都唯一． (　　) (2) 函数的最大值就是极值和端点值中的最大者． (　　) (3) 在有限的区间长度内，函数一定存在最值． (　　) (4) 如果一个函数有唯一的极值点，那么这个极值点就是最值点． (　　) √ √ × √ 典例精讲 能力初成 1 不含参数的函数的最大(小)值 【解答】 探究 1 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【解答】 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 变式 x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (2) 求函数f(x)在[0，3]上的最值． 【解答】 变式 　　　　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 2 含参数函数的最大(小)值 【解答】 探究 2 含参函数最值问题的两类情况： (1) 能根据条件求出参数，从而化为不含参函数的最值问题． (2) 对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，函数最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定函数最值． 　　　　设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性； 【解答】 变式 (2) 当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 【解答】 　　　　设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. 变式 3 根据最值求参数 【解析】 探究 3 【答案】C 【解析】 A 由函数的最值求参数的基本思路： (1) 求导数f′(x)，并求极值； (2) 利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论； (3) 利用函数的最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可． 随堂内化 及时评价 【解析】 A 【解析】 f′(x)＝－12＋3x2＝3(x＋2)(x－2)，当－3≤x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－2