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课件网) 11.1 余弦定理 第2课时 余弦定理的应用 探究点一 用余弦定理解决实际问题 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状 探究点三 利用余弦定理证明三角形中的 恒等式 【学习目标】 1.熟练应用余弦定理解决三角形问题. 2.能用余弦定理解决简单的实际问题. 知识点一 用余弦定理解决实际问题 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确画出图形，把 实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角， 通过建立数学模型来求解． 知识点二 测量中的有关角的概念 ① （1）方向角 从指定方向线到_____的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方 向角小于）.如图①,方向角分别为北偏东 , _____. 目标方向线 南偏东 （2）方位角:从正北的方向线顺时针转到目标方向线所转过的_____ ___，如图②,方向线,的方位角分别为 , . 水平角 ② 【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）方位角和方向角是一样的.( ) × [解析] 方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角; 而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正西方向作 为起始方向旋转到目标方向线所成的小于 的角. （2）方位角的取值范围是 .( ) √ [解析] 方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角,取 值范围是 . （3）在点处测得点在其北偏西 的方向上,则在点处测得点 的方位角是 .( ) × [解析] 在点处测得点的方位角是 . 知识点三 判断三角形的形状 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是 否有相等的边（或角）．在转化条件时要注意等价. 探究点一 用余弦定理解决实际问题 例1 一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号， 正在该海域执行护航任务的海军舰艇在 处获悉后，即测出该商船在 北偏东 ，距离10海里的处，并测得该商船正沿方位角为 的方向，以9海里/时的速度直线航行，舰艇立即以21海里/时的速度 沿直线前去营救．求舰艇追上商船所需要的时间及所经过的路程． 解：如图，设舰艇在 处追上商船，设所需的时间为小时， 则，，又 ， ， 所以由 ， 可得 ， 即 ， 即， 解得或 （舍去）， 故舰艇追上商船所需要的时间为小时， 所经过的路程为 （海里）． 变式 [2024·南京六校高一期中] 已知灯塔在海洋观测站 的北偏东 方向上，，两点间的距离为5海里.某时刻货船 在海洋观测站 的南偏东 方向上，， 两点间的距离为8海里，则该时刻货船 与灯塔 间的距离为___海里. 7 [解析] 如图，由已知可得海里，海里， , 由余弦定理可 ， 即 ， 所以 海里. ［素养小结］ 解决实际问题的一般步骤： （1）把题中的已知量和待求量集中在有关的三角形中，建立一个解 三角形的模型； （2）利用余弦定理解出所需要的边或角，求得该数学模型的解； （3）检验求得的解是否有实际意义，并回答题中所要解决的问题. 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状 例2 在中，已知 ，且 ，试判断 的形状． 解：由 ，得， 即 ， . ，. ， 由余弦定理得 ， ，， 为等边三角形． 变式 在中，内角，，的对边分别为，， ，若 ，判断 的形状. 解：， 由余弦定理得 ， 即 ， ， ， ， ， ， 或，或 . 当时，，为等腰三角形； 当 时，为直角三角形. 故 为等腰三角形或直角三角形. ［素养小结］ （1）判断三角形的形状，往往利用余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分显示边、角关系，进而判断． （2）在余弦定理中，注意整体思想的运用，如： ， 等． 探究点三 利用余弦定理证明三角形中的恒等式 例3 在中，，，分别是内角，， 的对边，求证： . 证明：左边 ， 右边， 等式成立． 变式 在中,证明: . 证明：设 ,则 . 在 中,由余弦 ... ...
