2024-2025学年广东省湛江市廉江市第二中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省湛江市廉江市第二中学高一下学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.在复数范围下化简得( ) A. B. C. D. 3.设向量，，若，则( ) A. B. C. D. 4.在中，若，，，则( ) A. B. C. D. 5.在边长为正方形中，为线段上靠近的三等分点，计算( ) A. B. C. D. 6.若，则( ) A. B. C. D. 7.已知是偶函数，当时，，则( ) A. B. C. D. 8.“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年，如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，为线段上一点，若，则的值为 ． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题中，不正确的是( ) A. 是一个复数 B. 形如的数一定是虚数 C. 两个复数一定不能比较大小 D. 若，则 10.在中，角，，所对的边分别为，，对于以下命题，其中正确的是( ) A. 等式恒成立 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11.如图，平行四边形中，，，，为的中点，与交于，则( ) A. 在方向上的投影为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，其中为虚数单位，，则 ． 13.年月日，是中华人民共和国成立周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台如图，若斜坡的坡角为，斜坡上某一位置与旗杆在同一个垂直于地面的平面内，如果在处和坡脚处测得旗杆顶端的仰角分别为和，且米，则旗杆的高度为 米 14.已知四边形是边长为的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知是虚数单位，复数． 当复数为虚数时，求的取值范围； 当复数在复平面对应的点在第二象限，求的取值范围． 16.本小题分 已知向量和，则，，求： 的值； 的值； 与的夹角的余弦值． 17.本小题分 如图，已知的内角，，的对边分别为，，，． 求； 若边上的中线，且，求的周长． 18.本小题分 记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知． 求角； 若，求三角形周长的取值范围． 19.本小题分 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作两个复向量，的线性运算定义为：，；两个复向量，的积记作，定义为；复向量的模定义为；若复向量与满足，则称复向量与平行． 设，，求以及； 对于实数，判断与能否平行，若能求出的值，若不能，说明理由； 设，，，且复向量与平行，求复数． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.或 15.解：因为复数虚数，所以 解得，且 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得，得． 所以实数的取值范围为 16.解：，，， ； ， ； ， ． 17.解：， 由余弦定理可得， ， ，由， ． 如图， 由得，， 由余弦定理知，即， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以 由，得， 所以， 所以的周长． 18.解：由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则 所以三角形周长为 19.解：， ， ， 得， ， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行． 设， 得， ， 若与平行，则， 得， 得， 得， 得， 故复数． 第1页，共7页 ... ...