2.3.2 二次根式的性质与加减运算 课件（共44张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(课件网) 幻灯片 1：封面 课程名称：2.3.2 二次根式的性质与加减运算 学科：数学 年级：八年级 授课教师：[教师姓名] 幻灯片 2：学习目标 巩固二次根式的核心性质（非负性、\((\sqrt{a})^2 = a\)、\(\sqrt{a^2} = |a|\)），能灵活运用性质化简复杂二次根式。 理解同类二次根式的定义，能准确判断两个二次根式是否为同类二次根式。 掌握二次根式加减运算的步骤（先化简，再合并同类二次根式），能准确进行加减运算，提升运算规范性。 幻灯片 3：知识回顾与情境导入 知识回顾： 二次根式定义：形如\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）的式子，且\(\sqrt{a} \geq 0\)（非负性）； 基本性质：\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a \geq 0\)），\(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\)为任意实数）； 最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数（如\(2\sqrt{3}\)是最简，\(\sqrt{12}\)不是）。 情境导入： 问题 1：现有两根木棒，长度分别为\(\sqrt{12}\)cm 和\(\sqrt{27}\)cm，若将它们首尾相接，总长度是多少？直接相加\(\sqrt{12} + \sqrt{27}\)无法计算，该如何处理？ 问题 2：计算\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\)，能否像整式\(2x + 3x = 5x\)一样合并？ 提问引导： 什么样的二次根式可以像 “同类项” 一样合并？ 二次根式的加减运算需要经历哪些步骤？ 幻灯片 4：二次根式的核心性质（深化与应用） 1. 性质 1：非负性的拓展应用 内容：若多个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0（常见非负数：\(\sqrt{a}\)、\(a^2\)、\(|a|\)）。 示例：若\(\sqrt{x - 3} + (y + 2)^2 + |z - 1| = 0\)，求\(x + y + z\)的值。 解：∵ \(\sqrt{x - 3} \geq 0\)，\((y + 2)^2 \geq 0\)，\(|z - 1| \geq 0\)，且和为 0， ∴ \(x - 3 = 0\)（\(\sqrt{x - 3} = 0\)），\(y + 2 = 0\)（\((y + 2)^2 = 0\)），\(z - 1 = 0\)（\(|z - 1| = 0\)）， 解得\(x = 3\)，\(y = -2\)，\(z = 1\)，故\(x + y + z = 3 - 2 + 1 = 2\)。 2. 性质 2：\(\sqrt{a^2} = |a|\)的分类化简 内容：根据\(a\)的正负性分类计算，避免符号错误。 示例：化简\(\sqrt{(x - 5)^2}\)（分情况讨论）： 当\(x \geq 5\)时，\(x - 5 \geq 0\)，故\(\sqrt{(x - 5)^2} = x - 5\)； 当\(x < 5\)时，\(x - 5 < 0\)，故\(\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5| = 5 - x\)。 3. 性质 3：最简二次根式的化简技巧 两步化简法： 去分母：若被开方数含分母，分子分母同乘分母的有理化因式（如\(\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)）； 开尽方：将被开方数拆为 “能开得尽方的因数 × 最简因数”（如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 2} = 3\sqrt{2}\)）。 示例：化简\(\sqrt{\frac{12}{5}}\)：\(\sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{4 3 5}{5 5}} = \frac{\sqrt{4 15}}{\sqrt{25}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}\)。 幻灯片 5：同类二次根式的定义与判断 1. 定义 几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。 关键词：先化简，再看被开方数（与系数无关）。 2. 判断方法（两步法） 化简：将所有二次根式化为最简二次根式； 对比：观察化简后被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。 3. 判断示例 例：判断下列各组是否为同类二次根式： （1）\(\sqrt{12}\)与\(\sqrt{27}\)； 化简：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，被开方数均为 3，故是同类二次根式； （2）\(\sqrt{8}\)与\(\sqrt{18}\)； 化简：\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，被开方数均为 2，故是同类二次根式； （3）\(\sqrt{5}\)与\(\sqrt{20}\)； 化简：\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，与\(\sqrt{5}\)被开方数均为 5，故是同 ... ...