17.2 用公式法分解因式-第1课时运用平方差公式分解因式 课件(共18张PPT) 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(课件网) 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. 2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能发现什么？ a米 b米 b米 a米 (a-b) 分析：右图是由左图剪掉边长为b米的小正方形后拼接而成，所以左图剩余部分的面积和右图面积相等. 因此 a米 b米 b米 a米 (a-b) a2-b2=(a+b)(a-b)， (a+b)(a-b)=a2-b2 那这个有什么应用呢？ 这个是平方差公式. 分解因式，填空并观察下列式子有什么共同特征？ (x+5)(x-5) 等式左边是两个数的平方差，等式右边都可以写成两个整式的乘积，即a2-b2= (a+b)(a-b) (3m+2n)(3m–2n) (3x+y)(3x-y) ) ) ( ( b a b a - + = b2 a2 - ) )( ( b a b a b2 a2 - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 思考 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 例1 分解因式： (1) 4x2-9； 解：(1) 4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3)； 分析：由于4x =(2x) ，9=3 ，所以4x -9=(2x) -3 ，即可以利用平方差公式分解因式. (2) a2- 25b2. (2) a2-25b2 =a2-(5b)2 =(a+5b)(a-5b). 分析：由于25b =(5b) ，所以a -25b =a -(5b) ，即可以利用平方差公式分解因式. 例2 分解因式： (1) x -y4； (2) (x+p)2 - (x+q)2. 分析：由于y4=(y2)2，所以x2-y =x2-(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式. 解：(1) x2-y4 =x2-(y2)2 =(x+y2)(x-y2)； 分析：可把x+p和x+q各看成一个整体，设x+p=a，x+q=b，则原式化为a2-b2，即可以利用平方差公式分解因式. (2) (x+p)2 - (x+q)2 =[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) . 归纳总结 1.语言描述: 两个数的平方差等于这两个数的之和与这两个数之差的积. 2.字母表示: a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) 注意：平方差公式中“这两个数”是字母a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式. 变式 把下列各式因式分解： (1) -m2 +n2； (2) 16x2 -y2； 解：(1)-m2 +n2 =n2 -m2 =(n + m)(n - m) (2)16x2 -y2 =(4x +y)(4x - y) (3) x4 - y4； (3) x4 - y4 =(x2 +y2)(x2 -y2) =(x2 +y2)(x +y)(x - y) (4) (m+6)2 - n2； (4)(m+6)2 - n2 =(m +6+n)(m +6-n) 位置变化 系数变化 指数变化 增项变化 因式分解必须要进行到每一个多项式都不能再分解为止 归纳总结 常见变形: (1) 位置变化：-b2 +a2 = (a+b)(a-b) (2) 系数变化：4a2 -b2 = (2a+b)(2a-b) (3) 指数变化：a4 - b4 = (a2+b2)(a+b)(a-b) (4) 增项变化：(a+c)2 - b2 =(a +c+b)(a +c-b) 例3 用因式分解简便运算： (1)1012 - 992； (2)53.52×4 - 46.52×4. 解：(1)1012 - 992 = (101＋99)(101－99) = 400 (2)53.52×4 - 46.52×4 = 4(53.52－46.52) = 4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) = 4×100×7 = 2800 较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. A A．a(a-3)(a+3) B．a(a2+9) C．(a-3)(a+3) D．a2(a2-9) 1. (2024云南)分解因式：a3 -9a = ( ) 解：(1) 1.21x2－144y2 ＝(1.1x＋12y)(1.1x-12y) (2) 16x4 － a4b4 ＝(4x2 + a2b2)(4x2 - a2b2) ＝(4x2 + a2b2)(2x+ ab)(2x- ab) 2. 把下列各式因式分解： (1) 1.21x2－144y； (2) 16x4 － a4b4； (3)81(a-b)2－4(a+b)2； (4)(2a2－b2)2－a4. (3)81(a-b)2－4(a+b)2 ＝[9(a - b)+2(a+ b)][9(a - b)-2(a+ b)] ＝(11a - 7b)(7a - 11b) (4) (2a2－b2)2－a4 ＝(2a2－b2+a2)(2a2－b2－a2) ＝(3a2－b2)(a2－b2) ＝(3a2－b2)(a+b)(a-b) 解：(m+2n)2-(3m-n)2 =(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(-2m + 3n) =-(4m+n)(2m-3n). 当4m+n=4 ... ...