(课件网) 1.探索并证明角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2.区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用. 重点 难点 你还记得上节课所学的角平分线的性质定理吗？ 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗 也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗 证明：∵PE⊥OB，PD⊥OA， ∴∠PEO=∠PDO=90°. ∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO(HL). ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 探究 如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ 归纳总结 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定： 符号语言： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. O A B C P D E ┐ 从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 角的平分线的性质及判定的关系： 特别提醒：角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆. 温馨提示 A B C P N M 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： (1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等; 分析：由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等. (2)△ABC的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥ CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： (1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等; 分析：要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上. 证明：由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： (2)△ABC的三条角平分线交于一点. D E F A B C P N M 变式 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， O 是△ ABC 内一点且到△ ABC 三边的距离相等，若∠BOC ＝108°，则∠OCB 的度数为( B ) B A. 22.5° B. 27° C. 30° D. 35° 归纳总结 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 1.如图，BM是∠ABC内部的一条射线，已知MP⊥AB于点P，MQ⊥BC 于点Q，添加下列条件，一定可以判定BM平分∠ABC的是( ) A. BP = QM B. MP = MQ C. ∠PBM = ∠BMQ D. BM = 2PM A C Q P B M B 2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 A B C C 3.如图，D是△ABC的三条内角的平分线的交点，已知AB：BC：AC= 4：3：5，则S△ABD：S△BCD：S△ACD=_____. A D C B 4∶3∶5 分析：过点D作DH⊥AB于H，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F， H F E 根据角平分线的性质得出DH=DE=DF，再根据三角形的面积求出即可. 4.如图，点B，C分别在∠A的两边上，D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE=DF，求证：BD=CD. 证明：如图，连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF， ... ...
