2.1.3《基本不等式的应用》教案（表格式）——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

2.1.3《基本不等式的应用》教学设计 一、内容分析 湘教版高中教材《数学.必修.第一册》第二章属于初高中衔接内容，为高中数学课程做好学习心理、学习方法和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 相等关系与不等关系作为数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础. 在初中，学生已有不等式的概念，会解简单的一次不等式，其中运用的基本原理在§2.1.1的《等式与不等式》有所介绍. §2.1.2介绍了基本不等式，理解一正二定三相等的前提条件，本节我们将结合具体实例，用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，即课程标准对本节课内容提出具体要求. 二、教学目的 1．熟练使用基本不等式，会应用此公式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题； 2．在应用举例解决过程中，围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心； 3．注意运用基本不等式求最值的成立条件，培养学生利用数量关系或函数关系解决实际问题的建模思想，渗透整体与换元、化归的思想方法. 三、重点难点 重点：正确运用基本不等式解决实际问题. 难点：注意运用基本不等式求最大（小）值的条件. 四、核心素养 ○直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、●数学建模． 五、教学准备 课件；联网演示电脑（能在线打开GGB）. 六、教学流程 旧知回顾 ->问题导入 ->新知探索 ->典型剖析->变式拓展 ->归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 ㈠ 旧知回顾 复习1：基本不等式 成立的条件：一正二定三相等复习2：牛刀小试 下列不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 若， 1. 开始语：上节课我们学习了基本不等式，它使用的条件是？（教师板书）2. 我们来看看下列不等式是否成立. 1.复习本节课使用的核心工具. 2. 通过实例让学生对基本不等式的使用条件加深认知. 4分钟 ㈡ 引入课题 问题1：把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？问题2：把25写成两个数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？最值定理：已知都为正数，则如果积是定值,那么当且仅当时，和有最小值；如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值. 给出问题1，问题2，学生思考，得出答案.2. 你能通过1、2一般化，得出结论吗？. 总结出“积定和最小，和定积定最大”的最值定理，为接下来配凑定值做好准备. 6分钟 ㈢ 实际问题 例1．某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12的背面靠墙的小屋， 房屋正面的造价为1 200元/ ， 侧面的造价为800 元/， 屋顶的造价为5 200元． 如果墙高为3 m ， 且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？例2．某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带， 两条平行线段的两端用半圆形弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m ，当平行线段的长设计为多少时， 中间矩形区域的面积最大？ 通过两个实际问题，引导学生分析题意、设未知量、列出数量关系进行求解. 发现条件中的“定值”关系，配凑来解决！学生极有可能在实际操作中只设一个未知量，列出函数关系，同样引导发现形式上的“定值”，并完成配凑. 书本例题，一个是积定求和的最小值，一个是和定求积的最小值. 引导学生通过设变量来建立数学模型：函数模型或者双变量模型. 13 分钟 ㈣课堂练习 练习：1．已知，则取得最大值时的值为_____.2．已知，则的最小值为_____. 当求积的最大值或和的最小值问题里没有满足“定值”时，我们可以通过“配凑”或“换元”实现. 引导学生通过加减常数、乘除常数去实现配凑. 对基本不等式中“配凑”法求解最值再训练. 提升学生观察力以及数量的重组能力. 2 ㈤变式拓展 例3：已知，则的最大值为_____.变式1：已知 ... ...